MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

178 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS = = = = = ∫ a 2 a 1 ∫ a 2 a 1 ∫ a 2 a 1 ∫ a 2 a 1 ∫ a 2 ⎛ ⎞ ∫ b 2 ∫ψ 1 ∫ψ 2 ∫ c ⎜ 2 ⎟ dx dy ⎝ g (x, y, z) dz + g (x, y, z) dz + g (x, y, z) dz⎠ = b 1 c 1 ψ 1 ψ 2 ⎛ ⎞ ∫ b 2 ∫ψ 1 ∫ψ 2 ∫ c ⎜ 2 ⎟ dx dy ⎝ 0 dz + g (x, y, z) dz + 0dz⎠ = b 1 c 1 ψ 1 ψ 2 ⎛ ⎞ ∫ϕ 1 ∫ψ 2 ∫ϕ 2 ∫ψ 2 ∫ b ⎜ 2 ∫ψ 2 ⎟ dx ⎝ dy gdz + dy gdz + dy gdz⎠ = b 1 ψ 1 ϕ 1 ψ 1 ϕ 2 ψ 1 ⎛ ⎞ ∫ϕ 1 ∫ψ 2 ∫ϕ 2 ∫ψ 2 ∫ b ⎜ 2 ∫ψ 2 ⎟ dx ⎝ dy dy dy 0dz⎠ = dx ∫ b 1 ϕ 2(x) dy ψ 1 0dz + ∫ ψ 2(x, y) ϕ 1 ψ 1 fdz + f (x, y, z) dz. ϕ 2 ψ 1 a 1 ϕ 1(x) ψ 1(x, y) Järelikult kehtib järgmine väide. Lause 2. Kui funktsioon f on pidev seosega (3.6.2) määratud regulaarses piirkonnas Ω, siis ∫∫∫ Ω ∫ a 2 ϕ∫ 2(x) f(P )dV = dx dy ∫ ψ 2(x, y) a 1 ϕ 1(x) ψ 1(x, y) f (x, y, z) dz. (3.6.3) Märkus 1. T~oestage veel viis Lause 2 analoogi integreerimise erinevate järjekordade korral. Näiteks, kui ∃ ∫∫∫ f(P )dV ja piirkond Ω on antud seosega Ω = Ω { (x, y, z) | (a1 ≤ y ≤ a 2 ) ∧ (ϕ 1 (y) ≤ z ≤ ϕ 2 (y)) ∧ ∧ (ψ 1 (y, z) ≤ x ≤ ψ 2 (y, z)) } , (3.6.4) siis ∫∫∫ Ω ∫ a 2 ϕ∫ 2(y) f(P )dV = dy dz ∫ ψ 2(y, z) a 1 ϕ 1(y) ψ 1(y, z ) f (x, y, z) dx. (3.6.5)
3.6. KOLMEKORDNE INTEGRAAL RISTKOORDINAATIDES 179 Näide 2. Arvutame ∫∫∫ Ω dx dy dz (2 + x + y + z) 3 , kus Ω on määratud tasanditega x = 0, y = 0, z = 0 ja x + y + z = 1 z ✻ 1 ✂ ✂ ✂ ✂✂ ❅ ❅❅ Ω ❅ ❅ 1 ✂ ✂ ✂ ✏ ❅ 1 ✏✂ ✏✏✏✏✏✏✏ ✠ x ✲ y Piirkonna Ω ristprojektsioon xy-tasandil pr xy Ω on kolmnurk y ✻ 1 ❅ ❅ ❅ ❅ x = 0 ❅ y = 1 − x x = 1 pr xy Ω ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ✲ y = 0 1 x Kasutame Lauset 2 valiku a 1 = 0, a 2 = 1, ϕ 1 (x) = 0, ϕ 2 (x) = 1−x, ψ 1 (x, y) = 0 ja ψ 2 (x, y) = 1 − x − y korral ∫∫∫ Ω ∫1 ∫ dx dy dz (2 + x + y + z) 3 = dx 0 1−x 0 dy 1−x−y ∫ 0 dz (2 + x + y + z) 3 =
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111:
110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113:
112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115:
114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117:
116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119:
118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121:
120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123:
122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125:
124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127:
126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129: 128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131: 130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133: 132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135: 134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137: 136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139: 138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141: 140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143: 142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145: 144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147: 146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149: 148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151: 150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153: 152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155: 154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157: 156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 160 and 161: 160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 162 and 163: 162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165: 164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167: 166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 172 and 173: 172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175: 174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177: 176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 180 and 181: 180 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 182 and 183: 182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 190 and 191: 190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193: 192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195: 194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197: 196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 202 and 203: 202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205: 204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 208 and 209: 208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 212 and 213: 212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215: 214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217: 216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219: 218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 222 and 223: 222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225: 224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227: 226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229:
228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231:
230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233:
232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235:
234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?