MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
ja c 1 , c 2 ∈ R, siis eksisteerib ka integraal
∫∫
(c 1 f 1 (P ) + c 2 f 2 (P ) ) dσ,
kusjuures
∫∫
Σ
Σ
(c 1 f 1 (P ) + c 2 f 2 (P ) ) dσ = c 1
∫∫
Σ
f 1 (P )dσ + c 2
∫∫
Σ
f 2 (P )dσ.
5. Kui eksisteerivad integraalid ∫∫ Σ f(P ) dσ ja ∫∫ g(P ) dσ ning
Σ
f(P ) ≤ g(P ) (P ∈ Σ) ,
siis
∫∫
∫∫
f(P ) dσ ≤
g(P ) dσ.
Σ
Σ
Saab t~oestada järgmise väite.
Lause 1. Kui sile pind Σ on esitatud ilmutatud v~orrandiga z = f(x, y) ja
pr xy Σ on pinna Σ projektsioon xy-tasandil ning funktsioon f on pidev pinna Σ
punktides, siis
√
∫∫
∫∫
f(P ) dσ = f(x, y, f(x, y)) 1 +
Σ
pr xyΣ
( ) 2 ∂z
+
∂x
( ) 2 ∂z
dxdy. (3.13.2)
∂y
Näide 1. Arvutame pindintegraali ∫∫ Σ
(
x + z
2 ) dσ, kui Σ on koonuse
z 2 = x 2 + y 2
osa, mis on ülalpool tasandit z = 0 ja allpool tasandit z = √ 2
pinna Σ projektsiooni pr xy Σ. Selleks elimineerime v~orrandeist
z 2 = x 2 + y 2 , z = √ ( x
)
2
2 + 1
muutuja z. Saame
( √2 ( x
2 + 1 )) 2
= x 2 + y 2 ⇔ 1 2 (x + 2)2 = x 2 + y 2 ⇔
( x
2 + 1 )
. Leiame
⇔ x2
2 − 2x + (x − y2 2)2
− 2 = 0 ⇔ + y 2 = 4 ⇔
2
(x − 2) 2
(
2
√
2
) 2
+ y2
2 2 = 1.