MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

88 PEATÜKK 2. READ
Et
S 2n = S 2n+1 − a 2n ,
siis tingimustest lim
n→∞ S 2n+1 = S ja lim
n→∞ a 2n = 0 saame, et
Seostest (2.6.2) ja (2.6.3) järeldub, et
∃ lim
n→∞ S 2n = S. (2.6.3)
∃ lim
n→∞ S n = S,
mida oligi vaja t~oestada. □
Definitsioon 2. Arvrida ∑ ∞
k=0 a k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui
koondub rida ∑ ∞
k=0 |a k| .
Kasutame tähistust
(
∑ ∞
) ( ∞
)
∑
a k ∈ ac ⇔ |a k | ∈ c .
k=0
Definitsioon 3. Koonduvat arvrida ∑ ∞
k=0 a k nimetatakse tingimisi koonduvaks,
kui ta ei ole absoluutselt koonduv.
Näide 1. Uurime rea ∑ ∞ 1
k=1 (−1)k k α (0 < α < 1) koonduvust.
Tegu on vahelduvate märkidega reaga, mille korral on koonduvuse tarvilik
tingimus täidetud. Juhul 0 < α < 1 leiame, et 1 ↓ 0, kui k → ∞. Rakendame
kα Leibnizi tunnust. Rida on koonduv. Et
k=1
k=0
∣ ∞∑
1 ∣∣∣ ∞∑
∣ (−1)k k α =
hajuv, siis on uuritav ri-
1
k α
da koonduv, kuid ei ole absoluutselt koonduv. Seega on rida ∑ ∞
k=1
ja juhul 0 < α < 1 on harmooniline rida ∑ ∞
k=1
1
k α
1
k=1 (−1)k k α
(0 < α < 1) tingimisi koonduv. ♦
Näide 2. Uurime rea ∑ ∞ 1
k=2 (−1)k ln k koonduvust.
Tegu on vahelduvate märkidega reaga, mille korral on koonduvuse tarvilik
tingimus täidetud. Et (1/ ln k) ↓, siis on v~oimalik rakendada Leibnizi tunnust.
Leiame, et uuritav rida on koonduv. Leiame
∞∑
1
∣ (−1)k ∞
ln k ∣ = ∑ 1
ln k .
k=2
k=2
Et
(k ≥ 2) ⇒
( 1
ln k > 1 )
k