MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

76 PEATÜKK 2. READ
Lause 2. Kui positiivne arvrida (2.2.1) koondub ja
siis koondub ka positiivne arvrida (2.2.2).
T~oestus. Olgu
n∑
Sn b = b k .
b k ≤ a k (k ∈ N) , (2.2.3)
k=1
Lause 1 p~ohjal järeldub rea (2.2.1) koonduvusest hinnang Sn a ≤ M (n ∈ N) .
Seoste (2.2.3) p~ohjal saame Sn b ≤ Sn a (n ∈ N) . Seega leiame Sn b ≤ M (n ∈ N) ,
st rida (2.2.2) on koonduv. □
Lause 3. Kui positiivne arvrida (2.2.2) hajub ja ridade (2.2.2) ja (2.2.1)
liikmed rahuldavad v~orratusi (2.2.3), siis hajub ka positiivne arvrida (2.2.1).
T~oestus. Lause 1 p~ohjal järeldub rea (2.2.2) hajuvusest, et jada { Sn} b on
ülalt t~okestamata. Järelikult v~orratustest Sn b ≤ Sn
a (n ∈ N) leiame, et ka jada
{Sn} a on ülalt t~okestamata. Lause 1 p~ohjal on rida (2.2.1) hajuv. □
Märkus 1. Lausete 2 ja 3 väited jäävad kehtima, kui eeldus (2.2.3) asendada
n~orgemaga:
b k ≤ a k (k ≥ k 0 ∈ N) .
Märkus 1 järeldub Lausest 2.1.2. Nimelt, rea l~opliku arvu esimeste liikmete
ärajätmine ei m~ojuta rea koonduvust.
Näide 1. Uurime rea ∑ ∞ 1
k=1
(k + 1) 2 k koonduvust.
1
Tegu on positiivse arvreaga, sest
≥ 0 (k ∈ N) . V~ordleme seda
(k + 1) 2k rida geomeetrilise reaga ∑ ∞
k=1
( 1
2) k
. See geomeetriline rida on koonduv, sest
q = 1 2 ja |q| = 1 2 < 1. Et ( ) k
1 1
(k + 1) 2 k ≤ (k ∈ N) ,
2
siis Lause 2 p~ohjal on uuritav rida koonduv. ♦
Näide 2. Uurime rea ∑ ∞ ln (k + 2)
k=1
koonduvust.
k
ln (k + 2)
Tegu on positiivse arvreaga, sest ≥ 0 (k ∈ N) . V~ordleme seda
k
rida harmoonilise reaga α = 1 korral. Et harmooniline rida on α = 1 korral
hajuv ja
1 ln (k + 2)
≤ (k ∈ N) ,
k k
st uuritava rea üldliige on suurem kui hajuva positiivse arvrea üldliige, siis Lause
3 p~ohjal on uuritav rida hajuv. ♦