MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.7. PINNA PUUTUJATASAND JA NORMAAL 37
on pinna puutujatasandi v~orrand punktis A ja
x − a
F x (a, b, c) =
y − b
F y (a, b, c) =
z − c
F z (a, b, c) . (1.7.7)
normaali v~orrandid punktis A.
T~oestus. Tingimuse (1.7.5) p~ohjal on funktsiooni F vähemalt ühe esimest
järku osatuletise väärtus punktis A (a, b, c) nullist erinev. Olgu F z (a, b, c) ≠ 0.
Kui asendame v~orrandis (1.7.3) suurused f(a, b), f x (a, b) ja f y (a, b) vastavalt
suurustega c, −F x (a, b, c) /F z (a, b, c) ja −F y (a, b, c) /F z (a, b, c) , on tulemuseks
z − c = − F x (a, b, c)
F z (a, b, c) (x − a) − F y (a, b, c)
(y − b) ,
F z (a, b, c)
millest pärast m~olema poole korrutamist suurusega F z (a, b, c) ja teisendamist
saame v~orrandi (1.7.6). Analoogiliselt saadakse valemist (1.7.4) valem (1.7.7).
Kuidas t~oestada Lauset 2 juhul F z (a, b, c) = 0 ∧ F x (a, b, c) ≠ 0 v~oi juhul
F z (a, b, c) = 0 ∧ F y (a, b, c) ≠ 0? □
Näide 2. Näitame, et pinna √ x + √ y + √ z = √ a iga puutujatasand l~oikab
koordinaattelgedel l~oigud, mille pikkuste summa on a.
Seega F (x, y, z) = √ x + √ y + √ z − √ a. Veenduge, et on täidetud Lause 2
eeldused. Kasutame v~orrandi (1.7.6) analoogi, v~ottes puutepunktiks P (x, y, z)
ja puutujatasandi suvaliseks punktiks S (ξ, η, ς) :
F x (x, y, z) (ξ − x) + F y (x, y, z) (η − y) + F z (x, y, z) (ς − z) = 0. (1.7.8)
Leiame osatuletised F x (x, y, z) = 1
2 √ x , F y (x, y, z) = 1
2 √ y ja F z (x, y, z) =
1
2 √ ja paigutame v~orrandisse (1.7.8):
z
1
2 √ 1
(ξ − x) +
x 2 √ 1
(η − y) +
y 2 √ (ς − z) = 0.
z
L~oikepunktis z-teljega on ξ = 0 ja η = 0 ning neil tingimustel saame ς määrata
viimasest v~orrandist:
1
2 √ 1
(0 − x) +
x 2 √ 1
(0 − y) +
y 2 √ (ς − z) = 0 ⇒
z
⇒ ς = (√ x + √ y + √ z ) √ z.
Seega on l~oigu pikkuseks z-teljel (√ x + √ y + √ z ) √ z. Analoogiliselt saame
(√ √ √ ) √
l~oikude pikkusteks x-teljel ja y-teljel vastavalt x + y + z x ja
(√ √ √ ) √ x + y + z y. Leiame nende pikkuste summa
(√ x +
√ y +
√ z
) √ x +
(√ x +
√ y +
√ z
) √ y +
(√ x +
√ y +
√ z
) √ z =
mida oligi vaja näidata.
= (√ x + √ y + √ z ) (√ x + √ y + √ z ) = √ a √ a = a,
♦