MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

118 PEATÜKK 2. READ
Avaldame elementide 1, cos kx ja sin kx normid:
‖1‖ = √ 2π, ‖cos kx‖ = √ π, ‖sin kx‖ = √ π.
Normeerides süsteemi (2.11.5) elemendid, saame 2π -perioodilise ortonormeeritud
trigonomeetrilise süsteemi
{ 1
√
2π
, cos x √ π
, sin x √ π
,
cos 2x
√ π
,
sin 2x
√ π
, . . . ,
cos kx
√ , π
}
sin kx
√ , . . . π
(2.11.6)
l~oigul [−π, π] .
♦
Näide 4. Leiame l~oigul [−1; 1] ortonormeeritud polünoomide süsteemi
{P k (x)} , kus P k (x) on k-ndat järku polünoom. Sellise omadusega polünoome
P k (x) nimetatakse Legendre’i polünoomideks. K~oik polünoomid on integreeruva
ruuduga l~oigul [−1; 1] . Veenduge, et polünoomide süsteem { x k} (k ∈ N 0 ) ei
ole ortogonaalne l~oigul [−1; 1] . Valime nullindat järku polünoomi P 0 (x) = √ 1 . 2
Selle polünoomi norm on 1, sest
√
∫ 1
−1
( 1 √2
) 2
dx = 1.
Ortonormaalse süsteemi järgmiste polünoomide saamiseks kasutame Gram-
Schmidti ortogonaliseerimisprotsessi (vt [16], lk 250-251 v~oi[18], lk 116-117).
Ortogonaalsed polünoomid P k (x) (k ∈ N) leitakse samm-sammult, kasutades
algoritmi
k−1
∑
Q k (x) = x k 〈
− x k , Q j (x) 〉 Q j (x), P k (x) = Q k (x)/ ‖Q k (x)‖ (k ∈ N) .
j=0
Esimesena leiame algoritmi (2.11.7) abil polünoomi P 1 (x) :
〈
Q 1 (x) = x − x,
‖Q 1 (x)‖ = √
∫ 1
−1
〉
1
√ · 2
x 2 dx =
1
√ = x − 1 ∫ 1
√ ·
2 2
−1
x ·
1
√
2
dx = x,
√
2
3 , P 1 (x) = Q 1 (x)/ ‖Q 1 (x)‖ =
(2.11.7)
x √
2/3
= 1 2 x√ 6.