MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.6. KOLMEKORDNE INTEGRAAL RISTKOORDINAATIDES 175
6. Kui funktsioonid f(P ) ja g(P ) on integreeruvad piirkonnas Ω ja f(P ) ≤ g(P )
(P ∈ Ω) , siis samasugust v~orratust rahuldavad nende funktsioonide kolmekordsed
integraalid, st
(f(P ), g(P ) ∈ I (Ω)) ∧ (f(P ) ≤ g(P ) (P ∈ Ω)) ⇒
⇒ ∫∫∫
f(P )dV ≤ ∫∫∫
g(P ) dV.
Ω
7. Kui funktsioon f(P ) on integreeruv piirkonnas Ω ja m ning M on sellised
arvud, et
m ≤ f(P ) ≤ M (P ∈ Ω) ,
siis
∫∫∫
m · V Ω ≤ f(P )dV ≤ M · V Ω .
Ω
8. Kui funktsioon f(P ) on pidev sidusas piirkonnas Ω, siis piirkonnas Ω leidub
selline punkt Q, et ∫∫∫
f(P )dV = f(Q) · V Ω .
Ω
Ω
3.6 Kolmekordne integraal ristkoordinaatides
Eksisteerigu integraal ∫∫∫
f(P )dV, (3.6.1)
Ω
s.o f(P ) ∈ I(Ω).
Definitsioon 1. Piirkonda Ω xyz-ruumis nimetatakse regulaarseks, kui
tema raja koosneb l~oplikust arvust pidevatest pindadest
z = z(x, y) v~oi y = y(x, z) v~oi x = x(y, z).
Definitsioon 2. Regulaarset piirkonda
{ (x, y, z) | (a1 ≤ x ≤ a
Ω =
2 ) ∧ (ϕ 1 (x) ≤ y ≤ ϕ 2 (x)) ∧
∧ (ψ 1 (x, y) ≤ z ≤ ψ 2 (x, y))
}
, (3.6.2)
kus ϕ 1 (x) , ϕ 2 (x) ∈ C [a 1 , a 2 ] ja ψ 1 (x, y) , ψ 1 (x, y) ∈ C ( pr xy Ω ) ning pr xy Ω on
piirkonna Ω ristprojektsioon xy-tasandil, nimetatakse normaalseks piirkonnaks
(xy-tasandi suhtes).
Defineerige analoogiliselt normaalse piirkonna m~oiste muutujate x, y, ja z
ülejäänud viie järjestuse korral.
Nii nagu kahekordse integraali korral eristame kolme juhtu.
1 0 Analoogiliselt kahekordse integraali juhuga t~oestage järgnev väide.