MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

140 PEATÜKK 2. READ
Fourier’ siinusteisendi.
Tegemist on paaritu funktsiooniga. Rakendades eeskirja (2.18.9), saame
√
2
π
∫ +∞
0
√ (∫ 2 2
∫ +∞
)
f(x) sin (ωx) dx = 1 · sin (ωx) dx + 0 · sin (ωx) dx =
π 0
2
√ 2
2 cos (ωx)
√ 2 1 − cos (2ω)
= −
=
.
π ω ∣ π ω
Skitseerime leitud siinusteisendi graafiku l~oigul [−10; 10]
0
1 ✻
. ..... ..... ...
.
.
.
.
.
. ..
.
−10 −5
......... . .. .. ....... .. ........... .. .. ........ ..
..
.. ..
.
.........
....
..
.. ... .. ..... ..
.
.
. .
.
.
.
5 10
... .
.
.. .
.. ... .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
..
−1
... .. .. .
✲ω
2.19 Ülesanded
Ülesannetes 1–3 on antud rea neli esimest liiget. Leida nende p~ohjal rea üldliikme
v~oimalik kuju.
1. √ 3 arctan 2 5 + √ 4 arctan 3 9 + √ 5 arctan 4
13 + √ 6 arctan 5
17 + . . .
V: √ k + 2 arctan k + 1
4k + 1 .
3
2.
6 − 7 12 + 11
24 − 15 4k − 1
+ . . . V:
48 3 · 2 k .
3. 1 2 − 1 · 3
2 · 6 + 1 · 3 · 5
2 · 6 · 10 − 1 · 3 · 5 · 7
2 · 6 · 10 · 14 + . . . V: (2k − 1)!!
(−1)k+1 (4k − 2)!!!! .
Ülesannetes 4–12 leidke rea osasumma S n ja rea summa S.
4. ∑ ∞ 1
k=1
k (k + 1) . V: n
n + 1 , 1.
5. ∑ ∞ 1
k=1
(k + 1) (k + 3) . V: n (5n + 13)
12 (n 2 + 5n + 6) , 5
12 .
6. ∑ ∞ 1
k=1
(k + α) (k + α + 1) . V: 1
1 + α − 1
n + 1 + α , 1
1 + α .
7. ∑ ∞
1
k=1
(k + α) (k + α + 1) (k + α + 2) .