MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

12 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
raadiusega c. V~orrandiga ϕ = c on määratud pooltasand. V~orrandiga ψ = c
on määratud osa pöördkoonusest, mille teljeks on z-telg. Millise v~orrandiga on
antud selle pöördkoonuse ülejäänud osa?
Definitsioon 18. Kui hulga Ω ⊂ R n igale punktile P (x 1 , . . . , x n ) on vastavusse
seatud muutuja u ∈ R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal Ω on
defineeritud n muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Seda fakti tähistatakse
u = f (x 1 , . . . , x n ) v~oi lühidalt u = f (P ) ehk P
funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka
{u | ((x 1 , . . . , x n ) ∈ Ω) ∧ u = f (x 1 , . . . , x n )} ⊂ R
funktsiooni väärtuste piirkonnaks. Hulka
f
↦→ u. Hulka Ω nimetatakse
{(x 1 , . . . , x n , u) | ((x 1 , . . . , x n ) ∈ Ω) ∧ u = f (x 1 , . . . , x n )} ⊂ R n+1
nimetatakse funktsiooni graafikuks.
Et järjend (x 1 , . . . , x n ) määrab ära vektori x = (x 1 , . . . , x n ) , siis on m~oningatel
juhtudel otstarbekas lisaks funktsiooni u = f (x 1 , . . . , x n ) lühendatud tähistusele
u = f (P ) kasutada ka tähistust u = f (x) ja k~onelda vektorargumendi x
skalaarväärtusega funktsioonist u = f (x) .
Kui funktsioon on antud analüütilise eeskirjaga ja määramispiirkonda ei ole
ette antud, siis funktsiooni u = f (x 1 , . . . , x n ) määramispiirkonnaks loetakse
nende punktide, mille korral see eeskiri omab m~otet, hulka.
Näide 3. Leiame funktsiooni u = ln ( 1 − x 2 1 − . . . − x 2 n)
määramispiirkonna.
Et logaritmitav peab olema positiivne, siis
1 − x 2 1 − . . . − x 2 n > 0 ⇔ x 2 1 + . . . + x 2 n < 1,
st määramispiirkonnaks on lahtine kera raadiusega 1 ja keskpunktiga nullpunktis.
♦
Tehnilistel kaalutlustel piirdume järgnevas p~ohiliselt kahe muutuja funktsiooni
u = f(x 1 , x 2 ) uurimisega. Nimetame ümber muutujad:
x 1 → x, x 2 → y, u → z.
Seega piirdume tavaliselt funktsiooni z = f(x, y) uurimisega.
Näide 4. Olgu Ω = [−1; 1] × [−1; 1] . Skitseerime funktsiooni
z = 2 − x 2 − y 2
graafiku ja leiame selle pinna v~orrandi nii silinder- kui ka sfäärkoordinaatides.
Skitseerime graafiku