MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

40 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
siis
|R 1 (1, 1)| ≤
0.06 · 0.04
+
12 · 1 · (1
+ 4√ 0.96 − 1 ) 2 √ 4
+
0.96
3
3.18
≤
18 · √0.96 (0.06)2 +
(3 · 1.06 + 2 − 2)
18 · 1 · (1
+ 4√ 0.96 − 1 ) 2 (0.06)2 +
3 · 1.06 + 4 − 3
32 4√ 0.96 7 ( 1 + 4√ 0.96 − 1 ) 2 0.042 ≤
0.06 · 0.04
12 · √0.96 + 4.18
32 · 4√ 0.96 9 0.042 ≤ 1.1 × 10 −3 .
Leiame ka arvuti abil ln( 3√ 1.06 + 4√ 0.96 − 1) = 9. 414 8 × 10 −3 . ♦
1.9 Lokaalne ekstreemum
Öeldakse, et mitme muutuja funktsioonil f(P ) on punktis A lokaalne maksimum
(lokaalne miinimum), kui punkti A küllalt väikeses ümbruses on
f(P ) ≤ f(A) (f(P ) ≥ f(A)) . Kui diferentseeruval mitme muutuja funktsioonil
u = f (x 1 , . . . , x n ) on punktis A (a 1 , . . . , a n ) lokaalne ekstreemum (lokaalne maksimum
v~oi lokaalne miinimum), siis ka ühe muutuja x 1 funktsioonil
f (x 1 , a 2 , . . . , a n ) on kohal x 1 = a 1 lokaalne ekstreemum. Seega peab ühe muutuja
funktsiooni ekstreemumi tarviliku tingimuse p~ohjal (x 1 , . . . , x n ) punktis
∂f
∂x 1
A v~orduma nulliga. Analoogilise arutelu p~ohjal j~ouame tingimusteni, et ka funktsiooni
u = f (x 1 , . . . , x n ) ülejäänud esimest järku osatuletised peavad punktis A
v~orduma nulliga. Järelikult on diferentseeruva funktsiooni ekstreemumpunktis
täidetud tingimused
∂f
∂x i
(x 1 , . . . , x n ) = 0 (i = 1, . . . , n) . (1.9.1)
Definitsioon 1. Punkti, milles on täidetud tingimused (1.9.1), nimetatakse
funktsiooni u = f (x 1 , . . . , x n ) statsionaarseks punktiks. Näide 1. Leiame funktsiooni
z = x 2 + y 2 statsionaarsed punktid. Koostame selle funktsiooni korral
süsteemi (1.9.1). Et z x = 2x ja z y = 2y, siis
{
2x = 0
2y = 0
ja antud funktsioonil on ainult üks statsionaarne punkt, O (0; 0) .
Näide 2. Leiame funktsiooni z = x 2 − y 2 statsionaarsed punktid.
Koostame selle funktsiooni korral süsteemi (1.9.1). Et z x = 2x ja z y = −2y,
siis { 2x = 0
−2y = 0
ja ka sel funktsioonil on ainult üks statsionaarne punkt ja nimelt O (0; 0) .
♦