MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.7. FUNKTSIONAALREAD 91
Lause 1. Funktsionaalrida (2.7.1) koondub ühtlaselt hulgal X uc parajasti
siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule ε leidub selline naturaalarv n 0 , et iga
p ∈ N ja x ∈ X uc puhul
kui n > n 0 .
|u n+1 (x) + u n+2 (x) + u n+3 (x) + . . . + u n+p (x)| < ε,
Järeldus 1. Kui funktsionaalrida (2.7.1) koondub ühtlaselt hulgal X uc , siis
suvalise ε > 0 korral leidub selline naturaalarv n 0 , et
|R n (x)| < ε (x ∈ X uc , n > n 0 ) ,
kusjuures R n (x) on rea ∑ ∞
k=n u k (x) summa.
Esitame kriteeriumi, mida praktikas rea ühtlase koonduvuse uurimisel tihti
kasutatakse.
Lause 2 (Weierstrassi tunnus). Kui leidub selline koonduv positiivne arvrida
∞∑
a k , (2.7.3)
et
k=0
|u k (x)| ≤ a k (x ∈ X uc , k ∈ N 0 ) , (2.7.4)
siis koondub funktsionaalrida (2.7.1) ühtlaselt hulgal X uc .
T~oestus. Kui (2.7.3) on koonduv positiivne arvrida, siis Lause 2.1.3 p~ohjal
iga ε > 0 korral leidub selline naturaalarv n 0 , et tingimusest n > n 0 järeldub
iga p ∈ N korral hinnang
|a n+1 + a n+2 + a n+3 + . . . + a n+p | < ε.
Et a k ≥ 0, siis omandab eelmine v~orratus kuju
a n+1 + a n+2 + a n+3 + . . . + a n+p < ε,
millest hinnangute (2.7.4) p~ohjal järeldub
|u n+1 (x)| + |u n+2 (x)| + |u n+3 (x)| + . . . + |u n+p (x)| < ε (∀ x ∈ X uc ) .
Seega iga ε > 0 korral leidub selline n 0 ∈ N, et n > n 0 korral
|u n+1 (x) + u n+2 (x) + u n+3 (x) + . . . + u n+p (x)| < ε (∀p ∈ N, ∀x ∈ X uc ) .
Rakendame Lauset 1.
□
Definitsioon 3. Positiivset arvrida (2.7.3), mille liikmed rahuldavad tingimust
(2.7.4), nimetatakse funktsionaalrea (2.7.1) majorantreaks hulgal X uc .