MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

112 PEATÜKK 2. READ
Seega saame diferentsiaalv~orrandi (2.10.4) algtingimusi y(0) = 1 ja y ′ (0) = 0
rahuldava erilahendi astmerea (2.10.6) kujul
y =
∞∑
k=0
( )
(k + 1)
x 2k k
+
(2k)! (2k + 1)! x2k+1 . ♦
Millal kasutada varianti A ja millal varinti B?
2.10.4 V~orrandite lahendamine
Olgu A (a, y (a)) ilmutamata kujul v~orrandiga
F (x, y) = 0 (2.10.7)
määratud funktsiooni y = y (x) graafiku punkt. Kuna funktsiooni tuletis on
teatud tingimustel avaldatav v~orrandist (2.10.7) kujul
siis saame selle tuletise väärtuse punktis a :
y ′ (x) = − F x (x, y (x))
F y (x, y (x)) , (2.10.8)
y ′ (a) = − F x (a, y (a))
F y (a, y (a)) .
Diferentseerides seose (2.10.8) m~olemat poolt muutuja x järgi, saame
ja selle abil
y ′′ (x) = − (F xx (x, y (x)) + F xy (x, y (x)) y ′ (x)) F y (x, y (x))
(F y (x, y (x))) 2 +
+ (F yx (x, y (x)) + F yy (x, y (x)) y ′ (x)) F x (x, y (x))
(F y (x, y (x))) 2
y ′′ (a) = − (F xx (a, y (a)) + F xy (a, y (a)) y ′ (a)) F y (a, y (a))
(F y (a, y (a))) 2 +
+ (F yx (a, y (a)) + F yy (a, y (a)) y ′ (a)) F x (a, y (a))
(F y (a, y (a))) 2 .
Nii jätkates on v~oimalik leida k~orgemat järku tuletiste väärtused kohal a. Kui
on arvutatud y (k) (a) (k = 0; 1; 2; . . . ; n) , siis on v~oimalik leida funktsiooni
y = y(x) Taylori rea osasumma
n∑
k=0
y (k) (a)
k!
(x − a) k ,
mille abil on v~oimalik leida funktsiooni y = y(x) ligikaudseid väärtusi punkti a
mingis ümbruses.