MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

128 PEATÜKK 2. READ
Seega saame tulemuseks
|x| ∼ 1 2 − 4 π 2
∞ ∑
n=1
cos ((2n − 1) πx)
(2n − 1) 2 .
Skitseerime l~oigul [−1; 1] funktsiooni |x| ja tema Fourier’ rea osasumma S 1 (x)
graafikud vastavalt punktiirjoone ja pideva joonega
y
1 ✻
.
.. ....
. ..
. ..
.
.
..
. ..
. ..
. .. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
. .. .
.
Lisame t~oestuseta veel ühe olulise väite.
Lause 3. Kui funktsioon f(x) on t~okestatud l~oigul [−l, l] ja tükiti pidev
ning tükiti monotoonne sel l~oigul, siis funktsiooni f(x) Fourier’ rida koondub
l~oigu [−l, l] igas punktis. Seejuures vahemiku (−l, l) igas punktis, milles f(x)
on pidev, koondub rida funktsiooni f(x) väärtuseks ja vahemiku igas punktis,
milles f(x) on katkev, koondub rida funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste
aritmeetiliseks keskmiseks. L~oigu [−l, l] otspunktides koondub rida suuruseks
0.5 (f(l − 0) + f(−l + 0)) .
2.15 Koosinusrida ja siinusrida
Valemitest (2.14.8) ja (2.14.9) järeldub, et l~oigul [−l, l] paarisfunktsiooni
f(x) Fourier’ rida (2.14.10) on koosinusrida ja paaritu funktsiooni f(x) Fourier’
rida (2.14.10) on siinusrida. Käsitleme järgnevalt probleemi, kuidas l~oigul [0, l]
integreeruva ruuduga funktsiooni f(x) arendada l~oigul [0, l] süsteemi (2.14.6)
järgi (Fourier’) koosinusritta v~oi (Fourier’) siinusritta. Uurime lähemalt koosinusritta
arendamist.
Defineerime funktsiooni
g(x) =
1
✲x
{ f(x), kui x ∈ [0, l] ,
f(−x), kui x ∈ [−l, 0) .
Funktsioon g(x) on l~oigul [−l, l] paarisfunktsioon ja on integreeruva ruuduga sel
l~oigul. Leiame valemite (2.14.9) ja (2.14.8) abil funktsiooni Fourier’ kordajad
a m = 1 ∫ l
g(x) cos mπx [
]
g(x) on
dx =
=
l
l paarisfunktsioon
= 2 l
= 2 l
−l
∫ l
0
∫ l
0
g(x) cos mπx
l
f(x) cos mπx
l
♦
dx = [l~oigul [0, l] g(x) = f(x)] =
dx (m ∈ N 0 )