MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.14. FOURIER’ RIDA TRIGONOMEETRILISE SÜSTEEMI JÄRGI 125
(2.14.3) ja (2.14.4) abil Fourier’ rea kordajad:
a 0 = 1 π
∫ π
−πf(x) dx = 1 π
∫ π
∫ 0
−π
(−1) dx + 1 π
∫ 0
∫ π
0
1 dx = 0,
a k = 1 cos kx dx =
π −πf(x) 1 (−1) cos kx dx + 1 π −π
π
0
π
sin kx
= − sin kx
kπ ∣ + kπ ∣ = 0 (k ∈ N) ,
b k = 1 π
=
∫ π
−π
sin kx dx =
−πf(x) 1 π
0
π
cos kx
∣ − kπ ∣
cos kx
kπ
−π
0
0
∫ 0
−π
= 1
kπ
= 1 (
2 − 2 (−1) k) = 2 (
1 − (−1) k) ⇒
kπ
kπ
Vormistame saadud tulemuse:
f(x) ∼ 4 π
∞∑
k=1
∫ π
0
∫ π
1 · cos kx dx =
(−1) sin kx dx + 1 π 0
1 · sin kx dx =
(
)
1 − (−1) k − (−1) k + 1 =
⎧
⎨
⎩
1
sin (2k − 1) x.
2k − 1
b 2k = 0
4
b 2k−1 =
(2k − 1) π
Skitseerime l~oigul [−π, π] funktsiooni f(x) ja tema Fourier’ rea osasummade
S 1 (x) = 4 π
1∑
k=1
1
sin (2k − 1) x
2k − 1
.
ning
graafikud
.
.
..
. ..
. .. . .. . .. . .. . ..
S 5 (x) = 4 π
.
.
5∑
k=1
y
4/π ✻
1
.
1
sin (2k − 1) x
2k − 1
. . . . . ........................................................................... . ..
.
. ..........
.
.
.
.
.
..
−π/2
π/2
..
.
.
..
.
...... .
.... .. .......................................................... .. . .. ... ................
−π
−1
−4/π
f(x)
S 1 (x)
S 5 (x)
. .
x
✲
π
♦