MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
T~oestus. Rakendame Greeni valemit
∮
∫∫
∫∫
Xdx + Y dy = (Y x − X y ) dx dy = 0 dx dy = 0,
γ
D γ D γ
kus D γ on joone γ poolt h~olmatav piirkond. Millise tulemuseni j~ouame ennast
l~oplikus arvus punktides l~oikava joone korral? □
Näide 2. T~oestame Järelduse 1 abil, et
∮ ( y
) xdy − ydx
f
x x 2 = 0,
Γ
kus f on suvaline diferentseeruv ühe muutuja funktsioon ja Γ on tükiti sile joon.
Kui tähistada
X = − y ( y
)
x 2 f , Y = 1 ( y
)
x x f ,
x
siis
Y x = − 1 ( y
)
x 2 f − y ( x x 3 f ′ y
)
, X y = − 1 ( y
)
x
x 2 f − y ( x x 3 f ′ y
)
.
x
Seega Y x ≡ X y ((x, y) ∈ D) . Kasutame Järeldust 1. ♦
Järeldus 2. Kui F x (x, y), F y (x, y), F xy (x, y) ja F yx (x, y) on pidevad sidusas
piirkonnas D, siis iga piirkonnas D paikneva tükiti sileda kinnise joone γ
korral
∮
dF (x, y) = 0.
T~oestus. Et antud tingimustel
γ
F xy (x, y) = F yx (x, y) ((x, y) ∈ D) ,
siis valiku X = F x ∧ Y = F y korral v~oime rakendada Järeldust 1. Saame
∮ ∮
∮
dF = F x dx + F y dy = Xdx + Y dy = 0. □
γ
γ
γ
Järeldus 3. Olgu funktsioonid X, Y ja nende osatuletised X y ja Y x pidevad
xy-tasandi sidusas tükiti sileda rajajoonega Γ piirkonnas D ning Y x = X y
((x, y) ∈ D) . Kui A, B ∈ D ja γ 1 , γ 2 ⊂ D on suvalised tükiti siledad jooned
punktist A punkti B, siis
∫
γ 1
∫
Xdx + Y dy = Xdx + Y dy,
st neil tingimustel s~oltub joonintegraali väärtus vaid punktide A ja B asukohast
ning ei s~oltu tükiti sileda joone valikust punktide A ja B vahel.
γ 2