MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.3. FUNKTSIOONI OSATULETISED 23
Märgime, et teist järku segaosatuletised on selle funktsiooni korral v~ordsed,
∂ 2 z
nimelt
∂x∂y = xy−1 + yx y−1 ln x =
∂2 z
. Kehtib järgmine väide.
∂y∂x
Lause 1. Kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised z xy ja z yx
on pidevad punktis P (x, y), siis selles punktis z xy = z yx .
T~oestus. Olgu
ω def
= f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y) − f(x + ∆x, y) + f(x, y),
kus ∆x ja ∆y on esialgu konstantsed. Kui
ϕ (x, y) def
= f(x, y + ∆y) − f(x, y), ψ (x, y) def
= f(x + ∆x, y) − f(x, y),
siis kasutades Lagrange’i keskväärtusteoreemi, saame
ω = ϕ (x + ∆x, y) − ϕ (x, y) = ϕ x (x + θ 1 ∆x, y) ∆x, (1.3.1)
kusjuures
ω = ψ (x, y + ∆y) − ψ (x, y) = ψ y (x, y + θ 2 ∆y) ∆y, (1.3.2)
ϕ x (x + θ 1 ∆x, y) = f x (x + θ 1 ∆x, y + ∆y) − f x (x + θ 1 ∆x, y) =
= f xy (x + θ 1 ∆x, y + θ 3 ∆y)∆y,
ψ y (x, y + θ 2 ∆y) = f y (x + ∆x, y + θ 2 ∆y) − f y (x, y + θ 2 ∆y) =
= f yx (x + θ 4 ∆x, y + θ 2 ∆y)∆x.
Seoste ahelatest (1.3.1) , (1.3.2), (1.3.3) ja (1.3.4) järeldub, et
(1.3.3)
(1.3.4)
f xy (x + θ 1 ∆x, y + θ 3 ∆y)∆x∆y = f yx (x + θ 4 ∆x, y + θ 2 ∆y)∆y∆x,
f xy (x + θ 1 ∆x, y + θ 3 ∆y) = f yx (x + θ 4 ∆x, y + θ 2 ∆y) ,
kus 0 < θ i < 1 (i = 1; 2; 3; 4) ja
lim f xy (x + θ 1 ∆x, y + θ 3 ∆y) =
(∆x,∆y)→(0,0)
= lim f yx (x + θ 4 ∆x, y + θ 2 ∆y) .
(∆x,∆y)→(0,0)
(1.3.5)
Kui segaosatuletised f xy (x, y) ja f yx (x, y) on pidevad punktis P (x, y), siis seosest
(1.3.5) järeldub Lause 1 väide f xy (x, y) = f yx (x, y) . □
Lause 1 väitega sarnane väide kehtib ka funktsiooni z = f(x, y) k~orgemat
järku segaosatuletiste korral ja n-muutuja funktsiooni (n ≥ 3) segaosatuletiste
korral.