MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

186 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Näide 2. Leiame kahe kera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ja x 2 + y 2 + (z − 1) 2 ≤ 1
ühisosa ruumala.
Skitseerime need kerad ja nende ristl~oike xz-tasandiga
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
1
.
x
.
✠
. ..
z ✻
x 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1
2
Ω
..
.
.
.
. . . . .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
1
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x 2 + y 2 + z 2 = 1
ψ = π 3
✲
y
.
.
.
.
.
.
.
. ..
. ..
z ✻
2
.
.
.
.
ρ = 2 cos ψ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
pr xz Ω
.
.
.
. .
. .
.
. .
. .
.
. . . .
.
. .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
.
.
.
.
1
ρ = 1
ψ = π 3
Et keha on sümmeetriline z-telje suhtes, siis piisab uurida selle keha ristl~oiget
xz-tasandiga. Kerade ühisosa on koonusega ψ = π/3 jaotatav kahte ossa. Kuna
ning
x 2 + y 2 + z 2 = 1 ←→ ρ = 1
x 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1 ←→ ρ = 2 cos ψ,
siis Lause 3.5.1 viienda osa ja valemi (3.7.6) abil saame (miks?)
∫∫∫
V Ω = dxdydz =
0
Ω
∫2π
∫π/3
= dϕ dψ
0
= 1 ∫2π
∫
dϕ
3
0
π/3
0
∫ 1
0
∫2π
∫π/2
ρ 2 sin ψ dρ + dϕ dψ
sin ψ dψ + 8 ∫2π
∫
dϕ
3
0
0
π/2
π/3
π/3
∫
2 cos ψ
0
cos 3 ψ sin ψdψ =
ρ 2 sin ψ dρ =
✲x
= 2π 3
∫
π/3
0
sin ψ dψ + 16π
3
∫π/2
π/3
= − 2π ∣ ∣∣∣
π/3
3 cos ψ − 4π 3 cos4 ψ
∣
0
cos 3 ψ sin ψdψ =
π/2
π/3
= − 2π 3 cos π 3 + 2π 3 + 4π 3 cos4 π 3 = 5π
12 . ♦
=