MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.10. ASTMERIDADE RAKENDUSED 107
väiksem esimese ärajäetud liikme absoluutväärtusest. Miks? Järelikult ~onnestub
suurus n määrata v~orratusest:
1
2 n+1 (n + 1)! < 10−3 .
Et
ja
1
2 1+1 (1 + 1)! = 1 8 , 1
2 2+1 (2 + 1)! = 1
48 , 1
2 3+1 (3 + 1)! = 1
384
1
2 4+1 (4 + 1)! = 1
3840 ,
siis n = 4. Leiame suuruse 1/ √ e täpsusega 10 −3 :
4∑
e −0.5 ≈ (−1) k 1
2 k k! = 233 ≈ 0. 607. ♦
384
k=0
2.10.2 Integraalide leidmine
Näide 2. Arvutame integraali
∫ 1
0
e −x2 /2 dx.
Funktsiooni e −x2 /2 algfunktsioon ei ole elementaarfunktsioon. Kasutame integreeritava
funktsiooni reaksarendust (2.9.8) ja liikmeti integreerimist:
∫ 1
∫ 1
( ∞∑ −x
e −x2 /2 2 /2 ) k ∞∑
∫
dx =
dx = (−1) k 1 1
0
0 k!
k!2 k x 2k dx =
k=0
k=0
0
∞∑
= (−1) k x 2k+1 1
∞∑
k!2 k (2k + 1) ∣ = (−1) k 1
k!2 k (2k + 1) . ♦
k=0
0
k=0
Saadud rea abil leidke selle integraali väärtus täpsusega 10 −5 .
Näide 3. Leiame reaksarenduse abil integraali
∫ ln
(
1 − 2x
3 )
x 2
Funktsiooni ln ( 1 − 2x 3) arendamiseks astmeritta kasutame valemit (2.9.13),
asendades selles valemis suuruse x suurusega −2x 3 , kusjuures
∣ −2x
3 ∣ ∣ < 1 ⇔ |x| < 1/
3 √ 2,
st funktsiooni ln ( 1 − 2x 3) reaksarenduse korral R = 1/ 3√ 2. Leiame
∫ ( )
ln 1 − 2x
3 ∫ (
1 ∞∑
) −2x
x 2 dx =
x 2 (−1) k+1 3 k
dx =
k
k=1
∑
= ∞ (−1) 2k+1 2 k ∫
x 3k−2 ∑
dx = − ∞
k
k=1
dx.
k=1
2 k x 3k−1
k (3k − 1) + C.
♦