MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

Peatükk 1
Diferentsiaalarvutus
1.1 Mitme muutuja funktsioon
Enne mitme muutuja funktsiooniga seotud m~oistete defineerimist meenutame
olukorda ühe muutuja funtsiooni y = f(x) korral. Selle funktsiooni määramispiirkond
X on x-telje k~oigi punktide hulga mingi alamhulk, st X ⊆ R. Seega
on alust arvata, et vastavate probleemide lahendamisel mitme muutuja funktsiooni
korral on funktsiooni määramispiirkond mingi hulk mitmem~o~otmelises
ruumis. Täpsustame mitmem~o~otmelise ruumi m~oistet.
Definitsioon 1. Hulkade H 1 , . . . , H n otsekorrutiseks ehk Cartesiuse korrutiseks
H 1 × . . . × H n nimetatakse k~oigi järjendite (h 1 , . . . , h n ) , kus
h k ∈ H k (k = 1, . . . , n) , hulka. Järjendit nimetatakse ka korteežiks. Kui
H k = H (k = 1, . . . , n) , siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise
H × . . . × H jaoks kasutatakse ka tähistust H n .
Definitsioon 2. Aritmeetiliseks punktiruumiks (afiinseks ruumiks) R n
nimetatakse otsekorrutist R × . . . × R, milles on n tegurit ja R on reaalarvude
hulk. Punktiruumi elemente nimetatakse selle ruumi punktideks ja arve x i nimetatakse
punkti P (x 1 , . . . , x n ) koordinaatideks.
Definitsioon 3. Aritmeetiliseks vektorruumiks R n nimetatakse n teguri
otsekorrutist R × . . . × R, milles elementide liitmine on defineeritud seosega
x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) ja korrutamine arvuga αx = (αx 1 , . . . , αx n ) ,
kusjuures x = (x 1 , . . . , x n ) , y = (y 1 , . . . , y n ) ja α ∈ R. Ruumi R n elemente
nimetatakse vektoriteks ja arve x i (i = 1, . . . , n) nimetatakse vektori x koordinaatideks.
Ruumi R n elementi 0 = (0, . . . , 0) nimetatakse nullvektoriks ehk
lihtsalt nulliks.
R~ohutame, et nii ruumi R n punkti P (x 1 , . . . , x n ) kui ka selle punkti P kohavektori
x = (x 1 , . . . , x n ) määrab ära sama järjend (x 1 , . . . , x n ) .
Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis
7