MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.4. CAUCHY TUNNUS 83
Lause 2.2.2 alusel v~oime väita, et ka rida ∑ ∞
k=1 a k on koonduv. Kui q > 1, siis
v~oime ette anda sellise arvu ε > 0, et ka q − ε > 1. Kasutame v~orratuste ahela
(2.4.2) esimest v~orratust
(q − ε) k < a k (k ∈ N) .
V~orreldes positiivseid arvridu ∑ ∞
k=1 a k ja ∑ ∞
k=1 (q − ε)k , v~oime Lause 2.2.3
p~ohjal väita, et geomeetrilise rea ∑ ∞
k=1 (q − ε)k hajuvusest teguri q−ε, kusjuures
|q − ε| > 1, korral järeldub rea ∑ ∞
k=1 a k hajuvus. Kui q = 1, siis eelnevalt
kasutatud metoodika ei ole rakendatav. S~onastame t~oestatud väite.
Lause 1 (Cauchy tunnus). Kui positiivse arvrea ∑ ∞
k=1 a k korral eksisteerib
l~oplik piirväärtus (2.4.1), siis
1) juhul q < 1 on uuritav rida koonduv,
2) juhul q > 1 on uuritav rida hajuv.
Näide 1. Uurime rea ∑ ( ) k
∞ 2k + 1
k=1
koonduvust.
3k − 1
Tegu on positiivse arvreaga. Rea üldiikmest on vajalik juur lihtsalt v~oetav.
Leiame piirväärtuse
√ (2k ) k
k + 1 2k + 1
lim
= lim
k→∞ 3k − 1 k→∞3k − 1 = 2 3 .
Cauchy tunnuse p~ohjal on uuritav rida koonduv.
) −k
2
Näide 2. Uurime rea ∑ (
∞ k + 2
k=1 3k koonduvust.
k + 1
Tegu on positiivse arvreaga. Et uuritava rea üldliikmest on lihtsalt v~oetav
k-ndat järku juur, siis rakendame Cauchy tunnust. Leiame
√
k
lim k√
ak = lim
k→∞ k→∞
3 k ( k + 2
k + 1
) −k 2
3
= lim ( )
k→∞
k
=
k + 2
k + 1
3
= lim
k→∞
[ (
1 + 1 ) ] k =
k+1
k + 1
k + 1
⎡ (
1 + 1 ) k+1
⎤
k→∞
→ e
= ⎢ k + 1
⎥
⎣ k
⎦ = 3 k→∞
e > 1.
→ 1
k + 1
Cauchy tunnuse p~ohjal on uuritav rida hajuv.
♦
♦