MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
184 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS<br />
Näide 1. Arvutame I = ∫∫∫ Ω (x2 + y 2 − z 2 )dxdydz, kus Ω on määratud<br />
v~orratustega x 2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1, x ≥ 0 ja y ≥ 0.<br />
Skitseerime Ω :<br />
✻<br />
...<br />
z<br />
1<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
x 2 + y 2 =4<br />
.. .. .<br />
.<br />
2<br />
.<br />
. Ω<br />
.<br />
2<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
x<br />
.<br />
.<br />
y<br />
.. .. .<br />
.<br />
Kuna silinderkoordinaatides on piirkond Ω määratud küljelt pooltasanditega<br />
ϕ = 0, ϕ = π/2 ja püstsilindritega ρ = 0, ρ = 2 ning alt ja ülalt vastavalt<br />
pindadega z = 0 ja z = 1, siis valemi (3.7.4) abil saame<br />
∫<br />
I =<br />
π/2<br />
0<br />
∫<br />
=<br />
π/2<br />
0<br />
dϕ<br />
dϕ<br />
∫ 2<br />
0<br />
∫ 2<br />
0<br />
ρdρ<br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
ρ 2 − z 2) dz =<br />
(<br />
ρ ρ 2 − 1 )<br />
dρ =<br />
3<br />
∫π/2<br />
0<br />
10<br />
3 dϕ = 5 3 π. ♦<br />
Näide 2. Paigutame rajad kolmekordses integraalis ∫∫∫ f(x, y, z)dxdy, kasutades<br />
silinderkoordinaate, kui Ω on<br />
Ω<br />
kera<br />
osa, mis on silindri<br />
x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2<br />
(<br />
x 2 + y 2) 2<br />
= R<br />
2 ( x 2 − y 2) (x ≥ 0)<br />
sees. Et<br />
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ←→ ρ 2 + z 2 = R 2 ←→ z = ± √ R 2 − ρ 2<br />
ja<br />
ning<br />
(<br />
x 2 + y 2) 2<br />
= x 2 − y 2 ←→ ρ 2 = R 2 cos 2ϕ ←→ ρ = R √ cos 2ϕ<br />
x ≥ 0 ⇒ − π 4 ≤ ϕ ≤ π 4 ,<br />
siis valemi (3.7.4) abil saame<br />
∫∫∫<br />
Ω<br />
f(x, y, z)dxdy =<br />
∫π/4<br />
−π/4<br />
dϕ<br />
∫<br />
R √ cos 2ϕ<br />
0<br />
ρdρ<br />
√<br />
R2 −ρ 2<br />
∫<br />
− √ R 2 −ρ 2<br />
f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)dz . ♦
Change language