MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.5. LIITFUNKTSIOONI OSATULETISED 29
√
ning α i /∆t ∆t→0
∑n
→ 0 (i = 1; . . . ; n) , γ/
i=1 (∆x i) 2 ∆x→0
→
Seega oleme t~oestanud järgmise väite.
0, siis δ/∆t ∆t→0
→ 0.
Lause 1. Kui funktsioonid x i = x i (t) (i = 1; . . . ; n) on diferentseeruvad
punktis t ja funktsioon u = f(x) on diferentseeruv punktis P (x 1 (t) , . . . , x n (t)),
siis liitfunktsiooni
u| xi=x i(t) = f(x 1 (t) , . . . , x n (t)) = f(x(t)) = u(t)
tuletis punktis t avaldub kujul
Näide 1. Olgu
du(t)
dt
=
n∑
i=1
f xi (x (t)) dx i(t)
. (1.5.1)
dt
u = x 2 + y 2 + z 2 , x = sin 2t, y = 1 − cos 2t, z = cos t.
Leiame tuletise du
dt .
Kasutame valemit (1.5.1), kusjuures muutujate x 1 , x 2 ja x 3 asemel kasutame
vastavalt muutujaid x, y ja z. Saame
du
dt = u dx
x
dt + u dy
y
dt + u dz
z
dt =
= 2x (2 cos 2t) + 2y (2 sin 2t) + 2z (− sin t) =
= 2 (2 sin 2t cos 2t + 2 (1 − cos 2t) sin 2t − cos t sin t) =
= 3 sin 2t.
Märgime, et sama tulemuseni j~ouame, kui k~oigepealt asendada v~orrandis
u = x 2 + y 2 + z 2 suurused x, y ja z muutuja t kaudu
ning v~otta siis tuletis
u(t) = x 2 | x=sin 2t + y 2 | y=1−cos 2t + z 2 | z=cos t =
= (sin 2t) 2 + (1 − cos 2t) 2 + cos 2 t = 4 − 3 cos 2 t
du
dt = d ( 4 − 3 cos 2 t )
= 6 cos t sin t = 3 sin 2t. ♦
dt
2 ◦ Olgu funktsioonid x = x(u, v) ja y = y(u, v) diferentseeruvad punktis P (u, v)
ning funktsioon z = z(x, y) diferentseeruv punktis (x(P ), y(P )). Leiame liitfunktsiooni
z = z (x(P ), y(P )) = z(u, v) osatuletised z u ja z v . Valemi (1.4.2)
abil saame
∆z = z x ∆x + z y ∆y + γ,
∆x = x u ∆u + x v ∆v + α,
∆y = y u ∆u + y v ∆v + β,