MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

102 PEATÜKK 2. READ
mida nimetatakse funktsiooni f(x) Taylori reaks kohal a. Selle vastavuse jaoks
kasutatakse tähistust
∞∑ f (k) (a)
f(x) ∼
(x − a) k .
k!
k=0
Funktsiooni f(x) Taylori rida kohal 0 nimetatakse funktsiooni Maclaurini reaks.
Osutub, et funktsiooni f(x) kui tahes k~orget järku tuletiste olemasolust punktis
a ei järeldu selle funktsiooni Taylori rea (2.9.4) koonduvus punkti a mingis
ümbruses. Isegi siis, kui funktsiooni f(x) Taylori rida (2.9.4) koondub punkti a
mingis ümbruses, ei pruugi ta koonduda funktsiooniks f(x). Uurime, millistel
tingimustel funktsiooni f(x) Taylori rida koondub punktis x funktsiooni väärtuseks
f(x). Funktsiooni f(x) Taylori rea (2.9.4) osasumma
S n (x) =
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
k!
(x − a) k
on Taylori valemi juures käsitlemist leidnud Taylori polünoom. Funktsiooni f(x)
Taylori valem kohal a on kujul
kus
f(x) =
n−1
∑
k=0
f (k) (a)
k!
(x − a) k + R n−1 (x),
R n−1 (x) = f (n) (a + θ (x − a))
(x − a) n
n!
(0 < θ < 1) . (2.9.5)
Seega kehtib väide.
Lause 1. Funktsiooni f(x) Taylori rida (2.9.4) koondub punktis x funktsiooni
f väärtuseks f(x) parajasti siis, kui lim
n→∞ R n−1(x) = 0.
Olgu R rea (2.9.4) koonduvusraadius. Fakti, et funktsiooni f(x) Taylori rida
(2.9.4) koondub hulga X = (a−R, a+R) igas punktis x funktsiooni f väärtuseks
f(x), tähistatakse lühidalt kujul
f(x) =
∞∑
k=0
f (k) (a)
k!
(x − a) k (x ∈ X) . (2.9.6)
Näide 1. Leiame funktsiooni e x Taylori rea kohal −1.
Et (e x ) (k) = e x , siis f (k) (−1) = e −1 . Leiame soovitud Taylori rea
∞∑
k=0
e −1
k!
Valemi (9.5) abil saame, et
(x − (−1)) k =
R n−1 (x) = f (n) (−1 + θ (x + 1))
n!
∞∑
k=0
1
k!e (x + 1)k .
(x + 1) n = e−1+θ(x+1)
n!
(x + 1) n ,