MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.7. FUNKTSIONAALREAD 89
ja harmooniline rida ∑ ∞ 1
k=2
k on hajuv, siis Lause 2.2.3 p~ohjal ∑ ∞ 1
k=2
/∈ c.
ln k
Seega on uuritav rida ∑ ∞ 1
k=2 (−1)k koonduv, kuid ei ole absoluutselt koonduv.
Tegemist on tingimisi koonduva reaga.
ln k
♦
cos (0.3kπ)
Näide 3. Uurime rea ∑ ∞
k=0
k 2 koonduvust.
+ 1
Tegemist on arvreaga. Uurime selle rea absoluutset koonduvust. Et
cos (0.3kπ)
∣ k 2 + 1 ∣ ≤ 1 k 2
ja harmooniline rida ∑ ∞ 1
k=0
on koonduv, siis koondub uuritav rida absoluutselt.
♦
k2 Rida
∞∑
a nk = a n0 + a n1 + a n2 + . . . + a nk + . . .
k=0
nimetatakse rea (2.1.1) ümberjärjestuseks. Esitame t~oestuseta kaks järgmist
väidet, mille t~oestused leiab huviline G. Kangro ~opikust [9] , lk 29–32.
Lause 2 (Dirichlet’ teoreem). Absoluutselt koonduva rea iga ümberjärjestus
koondub samaks summaks.
Lause 3 (Riemanni teoreem). Tingimisi koonduval real (2.1.1) leidub selline
ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt ette antud arv v~oi +∞ v~oi −∞.
2.7 Funktsionaalread
Järgnevalt uurime ridu, millel on matemaatilises analüüsis oluline osa funktsioonide
esitamisel.
Definitsioon 1. Rida
∞∑
u k (x) , (2.7.1)
k=0
mille liikmed u k (x) (k ∈ N 0 ) on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks.
Olgu X k funktsiooni u k (x) (k ∈ N 0 ) määramispiirkond ja X = ∩ ∞ k=0 X k.
Fikseerime arvu x ∈ X. Arvutame selle x korral funktsioonide u k (x) väärtused
ja uurime saadud arvrea ∑ ∞
k=0 u k (x) koonduvust. Kui saadud arvrida
koondub, siis öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x ja selle arvrea
summat nimetatakse funktsionaalrea summaks punktis x. Kui saadud arvrida
hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis x. Nii uurime iga x ∈ X
korral.