MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.13. BESSELI V~ORRATUS. PARSEVALI V~ORDUS 121
2.13 Besseli v~orratus. Parsevali v~ordus
Olgu
{ϕ k (x)} (k ∈ N 0 )
ortonormeeritud süsteem l~oigul [a, b] . Käsitleme l~oigul [a, b] integreeruva ruuduga
funktsiooni f(x) lähendamist ortogonaalrea
osasummaga
Olgu
∞∑
d k ϕ k (x) (2.13.1)
k=0
σ n (x) =
n∑
d k ϕ k (x) . (2.13.2)
k=0
∞∑
a k ϕ k (x) (2.13.3)
k=0
funktsiooni f(x) Fourier’ rida selle ortonormeeritud süsteemi järgi, st
a k = 〈f, ϕ k 〉 . Uurime vahe f (x) − σ n (x) normi ruutu. Leiame
ehk
0 ≤ ‖f (x) − σ n (x)‖ 2 = 〈f − σ n , f − σ n 〉 = 〈f, f〉 − 2 〈f, σ n 〉 + 〈σ n , σ n 〉 =
= 〈f, f〉 − 2
= 〈f, f〉 − 2
= 〈f, f〉 − 2
〈
f,
〉 〈
n∑
∑ n
d k ϕ k + d k ϕ k ,
k=0
n∑
d k 〈f, ϕ k 〉 +
k=0
n∑
d k a k +
k=0
k=0
n∑ ∑ n
d k
k=0 m=0
n∑
dk 2 = 〈f, f〉 +
k=0
‖f (x) − σ n (x)‖ 2 = 〈f, f〉 +
〉
n∑
d m ϕ m =
m=0
d m 〈ϕ k , ϕ m 〉 =
n∑
(d k − a k ) 2 −
k=0
n∑
(d k − a k ) 2 −
k=0
n∑
k=0
a 2 k
n∑
ak 2 . (2.13.4)
Seosest (2.13.4) selgub, et valiku d k = a k (k ∈ N 0 ) korral minimiseerime vahe
f (x) − σ n (x) normi ‖f (x) − σ n (x)‖ . Oleme t~oestanud järgmise väite.
Lause 1. Ortonormeeritud süsteemi {ϕ k (x)} korral integreeruva ruuduga
funktsiooni f(x) Fourier’ rea (2.13.3) osasumma
S n (x) =
n∑
a k ϕ k (x)
k=0
kujutab endast funktsiooni f(x) parimat keskmist lähendit v~orreldes teiste sama
süsteemi järgi moodustatud ortonormaalridade (2.13.1) n-ndat järku osasummadega
(2.13.2).
k=0