MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

70 PEATÜKK 2. READ Tähistame sümboliga c k~oigi koonduvate ridade hulka. Asjaolu, et rida (2.1.1) on koonduv, tähistame lühidalt ∑ ∞ ∑ k=1 a k ∈ c, ja asjaolu, et rida on hajuv, ∞ k=1 a k /∈ c. Juhtudel lim S n = ∞ v~oi lim S n = −∞ on tegemist hajuva n→∞ n→∞ reaga. Näide 1. Uurime rea ∑ ∞ k=1 1 = 1 + 1 + . . . + 1 + . . . koonduvust. Et S n = ∑ n k=1 1 = n, siis st uuritav rida on hajuv. lim S n = n→∞ ♦ lim n = +∞, n→∞ Esitame kaks lihtsat näidet, mis on edaspidi olulised. Näide 2. Arvrida ∑ ∞ k=0 qk , kus q on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Uurime selle rea koonduvust. Et rea osasumma S n avaldub kujul siis n−1 ∑ S n = q k q≠1 = k=0 lim S n = n→∞ ( 1 + q + q 2 + . . . + q n−1) (1 − q) lim n→∞ 1 − q 1 − q n 1 − q = ⎧ ⎨ ⎩ 1 , kui |q| < 1, 1 − q ∄, kui |q| > 1. = 1 − qn 1 − q , Kui q = 1, siis Näite 1 p~ohjal on tegemist hajuva reaga. Kui q = −1, siis S 1 = 1, S 2 = 0, S 3 = 1, . . . ja ka sel juhul on tegemist hajuva reaga. Seega geomeetriline rida ∑ ∞ k=0 qk koondub, kui |q| < 1, ja hajub, kui |q| ≥ 1. ♦ Näide 3. Arvrida ∑ ∞ 1 k=1 k α nimetatakse harmooniliseks reaks. Osutub, et harmooniline rida on koonduv, kui α > 1, ja hajuv, kui α ≤ 1. T~oestame selle edaspidi. Näide 4. Uurime rea ∑ ∞ k=1 rea summa. Selleks et lihtsustada osasumma S n = ∑ n k=1 üldliikme osamurdudeks 1 k(k + 1) = A k + B A (k + 1) + Bk = k + 1 k(k + 1) J~ouame tulemuseni S n = n∑ k=1 1 koonduvust. Koonduvuse korral leiame k(k + 1) 1 avaldist, lahutame rea k(k + 1) ⇒ A (k + 1) + Bk = 1 (∀k ∈ N 0 ) ⇒ A = 1 ∧ B = −1. 1 k(k + 1) = n ∑ k=1 ( 1 k − 1 ) = k + 1 = 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 + . . . + 1 n − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 . ⇒
2.1. ARVREAD 71 Et ( lim S n = lim 1 − 1 ) = 1, n→∞ n→∞ n + 1 siis uuritav rida koondub, kusjuures rea summa on 1. ♦ Näide 5. Uurime rea ∑ ∞ 4 k + 6 k k=0 5 k koonduvust. Kuna n−1 ∑ 4 k + 6 k n−1 ∑ ( ) k n−1 4 ∑ ( ) k 6 (2.1.3) S n = 5 k = + = 5 5 k=0 k=0 k=0 ( n ( n 4 6 1 − 1 − 5) 5) = 1 − 4 + 1 − 6 = ( 5 ( 5 n ) (( ) n 4 6 = 5 1 − + 5 − 1) , 5) 5 siis lim n→∞ S n = +∞. Tegemist on hajuva reaga. Näide 6. Uurime rea ∑ ∞ k=1 arctan 1 koonduvust. Koonduvuse korral leiame rea summa. 2k2 Leiame osasummale S n lihtsama kuju. Nendime, et S 1 = arctan 1 2 . Järgnevate osasummade leidmisel kasutame seost Leiame, et ja Püstitame hüpoteesi arctan x + arctan y ♦ |xy|
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21: 20 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 72 and 73: 72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75: 74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77: 76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79: 78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81: 80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83: 82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 88 and 89: 88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91: 90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 94 and 95: 94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97: 96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99: 98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101: 100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103: 102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105: 104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107: 106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109: 108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111: 110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113: 112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115: 114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117: 116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119: 118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121:
120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123:
122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125:
124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127:
126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129:
128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131:
130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133:
132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135:
134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137:
136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139:
138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141:
140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143:
142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145:
144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147:
146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149:
148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151:
150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153:
152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155:
154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157:
156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 162 and 163:
162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165:
164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167:
166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Page 172 and 173:
172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175:
174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177:
176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 184 and 185:
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193:
192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195:
194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197:
196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205:
204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215:
214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217:
216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219:
218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 220 and 221:
Page 222 and 223:
222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225:
224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227:
226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229:
228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231:
230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233:
232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235:
234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?