MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

28 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
siis argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni u = f(x) muut ∆u avaldub
valemi (1.4.6) abil
n∑
∆u = f xi (x)∆x i + γ,
kus
i=1
γ
√ ∑n
i=1 (∆x i) 2 ∆x→0
→ 0.
Et funktsioonid x i = x i (t) (i = 1; . . . ; n) on diferentseeruvad punktis t, siis
argumendi t juurdekasvule ∆t vastav funktsiooni x i juurdekasv ∆x i avaldub
kujul ∆x i = dx i
dt ∆t + α i, kusjuures
Seega saame
α i ∆t→0
→ 0 (i = 1; . . . ; n) .
∆t
n∑
( )
dxi
∆u = f xi (x)
dt ∆t + α i + γ =
i=1
( n
)
∑
= f xi (x) dx n∑
i
∆t + f xi (x)α i + γ =
dt
i=1
i=1
( n
)
∑
= f xi (x) dx i
∆t + δ,
dt
i=1
kus δ = ∑ n
i=1 f x i
(x)α i + γ. Et kehtib v~orratuste ahel
∣ δ
∣∣∣∣ n ∣∆t∣ = ∑
f xi (x) α i
∆t + γ ∆t∣ ≤
i=1
n∑
≤ |f xi (x)| ∣ α i
∣ + ∣ γ ∣ ≤
∆t ∆t
≤
i=1
√
n∑
|f xi (x)| ∣ α √√√
i
|γ| ∑
n ( ) 2 ∆xi
∣ + √
∆t ∑n
i=1 (∆x i) 2 ∆t
i=1
i=1
ja
⎡
∑
√ n ( ) 2 ∆xi ∆t→0
∑
→ √ n (x ′ i
∆t
(t))2 ⇒ ⎣
i=1
i=1
∑
⇒ √ n
piirväärtust omav
suurus on t~okestatud
selles piirprotsessis
i=1
( ) 2 ∆xi
= O(1),
∆t
⎤
⎦ ⇒