MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

78 PEATÜKK 2. READ
Näide 3. Uurime rea ∑ ∞ 2k + 1
k=1
k 2 + 2 koonduvust.
Tegu on positiivse arvreaga, sest 2k + 1 ≥ 0 (k ∈ N) . V~ordleme seda rida
k 2 + 2
harmoonilise reaga ∑ ∞ 1
k=1
. Leiame, et
kα lim
k→∞
2k + 1
k 2 + 2
1
k→∞
k α = lim
⎧
⎨
=
⎩
2k 1+α + k α
k 2 + 2
∞, kui α > 1,
0, kui α < 1,
2, kui α = 1.
2k α−1 + k α−2
= lim
k→∞
1 + 2 =
k 2
Rakendame Lauset 4. Kuna harmooniline rida on hajuv α = 1 korral, siis ka
uuritav rida on hajuv. ♦
Näide 4. Uurime rea ∑ ∞
k=1 sin π 2k koonduvust.
Tegemist on positiivse arvreaga, sest
(k ∈ N) ⇒
(
0 < π 2k ≤ π )
2
⇒
(sin π 2k > 0 )
.
V~ordleme uuritavat rida harmoonilise reaga α = 1 korral. Leiame
sin π
lim 2k
k→∞ 1
k
sin π
= lim 2k
k→∞ 1
k
π
[
= sin π k→∞ π
]
∼ = lim 2k
2k 2k k→∞ 1
k
Lause 4 p~ohjal on uuritav rida hajuv. ♦
Näide 5. Uurime rea ∑ ∞ 3
k=1
√
k3 + 2k koonduvust.
= π 2 > 0.
Tegu on positiivse arvreaga. V~ordleme seda rida harmoonilise reaga. Leiame
lim
k→∞
3
√
k3 + 2k
= lim
1
k→∞
k α
⎧
3
⎨
√
k
3−2α
+ 2k = 1−2α ⎩
∞, kui α > 1.5,
0, kui α < 1.5,
3, kui α = 1.5.
Kuna harmooniline rida on koonduv α = 1.5 korral, siis on uuritav rida Lause
4 p~ohjal koonduv. ♦
Näide 6. Uurime rea ∑ (
∞ √k √ )
k=1 − k − 1 koonduvust.
Tegu on positiivse arvreaga. V~ordleme seda rida harmoonilise reaga. Leiame
(
√ √ √k √ ) ( √k √ )
k − k − 1
− k − 1 + k − 1
lim
= lim (
k→∞ 1
k→∞
√k √ ) =
k −α + k − 1
k α