MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.3. D’ALEMBERT’I TUNNUS 81
Tegu on positiivse arvreaga. Kuna
a k =
(3k − 2)!!!
(2k − 1)!!
⇒ a k+1 =
(3 (k + 1) − 2)!!!
(2 (k + 1) − 1)!!
=
(3k + 1)!!!
(2k + 1)!! ,
siis
(3k + 1)!!!
a k+1 (2k + 1)!! (3k + 1)!!! (2k − 1)!!
lim = lim
= lim
k→∞ a k k→∞ (3k − 2)!!! k→∞(2k + 1)!! (3k − 2)!!! =
(2k − 1)!!
1 · 4 · · · (3k − 2) (3k + 1) · 1 · 3 · · · (2k − 1)
= lim
k→∞1 · 3 · · · (2k − 1) (2k + 1) · 1 · 4 · · · (3k − 2) =
3k + 1
= lim
k→∞2k + 1 = 3 2 > 1
ja uuritav rida on Lause 1 p~ohjal hajuv.
Et
siis
Näide 3. Uurime rea ∑ ∞ k k−1
k=1
k!e k
a k = kk−1
k!e k
a k+1
lim = lim
k→∞ a k k→∞
⇒ a k+1 =
(k + 1) k
(k + 1)!e k+1
k k−1
k!e k
(k + 1) k−1
= lim
k→∞ ek k−1 = 1 e lim
k→∞
♦
[ (
= 1 e lim 1 + 1 ) ] k − 1
k
k
= ⎢
k→∞ k
⎣
koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga.
(k + 1)(k+1)−1 (k + 1)k
=
(k + 1)!e
(k+1) (k + 1)!e k+1 ,
(k + 1) k k!e k
= lim
k→∞(k + 1)!e k+1 k k−1 =
(
1 + 1 k
) k−1
=
⎡
(
1 + 1 ) k
⎤
k→∞
→ e,
k
⎥
k→∞
→ 1
k − 1
k
⎦ = 1
ja Lause 1 p~ohjal ei ole d’Alembert’i tunnus rakendatav. Selle rea koonduvuse
täiendaval uurimisel kasutame Stirlingi valemit
n! ∼ √ 2πnn n e −n (n → ∞) , (2.3.3)
st
lim
n→∞
n!
√ = 1.
2πnnn e−n