MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.2. KAHEKORDNE INTEGRAAL RISTKOORDINAATIDES 153
ja
n osapiirkonnaks
{(x, y) | (y = y j ) ∧ (a ≤ x ≤ b)} (j = 1, . . . , m − 1)
D i, j = {(x, y) | (x i−1 ≤ x ≤ x i ) ∧ (y j−1 ≤ y ≤ y j )} ,
kusjuures n = km. Kui tähistada ∆x i = x i − x i−1 (i = 1, . . . , k) ja
∆y j = y j − y j−1 (j = 1, . . . , m) , siis
√
∆S i,j = ∆x i ∆y j , d i,j = (∆x i ) 2 + (∆y j ) 2 .
R~ohutame
max d i,j → 0 ⇒ (k, m) → (∞, ∞) .
Valime piirkonnas D i, j punkti P i, j (ξ i , η j ) . Saame
∫∫
D
f(P )dS =
lim
k∑
max d i,j→0
i=1 j=1
m∑
f (ξ i , η j ) ∆x i ∆y j =
[ ]
kui eksisteerib funktsiooni piirväärtus,
=
=
siis eksisteerib korduv piirväärtus
k∑ m∑
= lim lim
f (ξ i , η j ) ∆x i ∆y j =
max ∆x i →0 max ∆y j→0
= lim
max ∆x i →0
i=1
= lim
=
=
=
max ∆x i →0
i=1
[ ∫ d
g(x) def.
=
∫ b
a
∫ b
a
k∑
∆x i
i=1 j=1
lim
max ∆y j→0
j=1
k∑
∫ d
∆x i f (ξ i , y) dy =
c
g(x)dx =
dx
∫ d
c
c
f (x, y) dy
∫ b
a
]
m∑
f (ξ i , η j ) ∆y j =
= lim
max ∆x i →0
i=1
( ∫ )
d
f (x, y) dy dx =
c
f (x, y) dy.
k∑
g(ξ i )∆x i =
Analoogiliselt saab näidata, et ∫∫ D f(P )dS = ∫ d
c dy ∫ b
f (x, y) dx. S~onastame
a
saadud tulemuse.
Lause 1. Kui f(P ) ∈ C(D), kus D = {(x, y) | (a ≤ x ≤ b) ∧ (c ≤ y ≤ d)} ,
st D on ristkülik, mille küljed on paralleelsed koordinaattelgedaga, siis
∫∫
D
f(P )dS =
∫ b
a
dx
∫ d
c
f (x, y) dy =
∫ d
c
∫ b
dy f (x, y) dx. (3.2.4)
a