MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

86 PEATÜKK 2. READ
Näide 1. Uurime harmoonilse rea ∑ ∞ 1
k=1
k α koonduvust.
Kui α ≤ 0, siis ei ole täidetud rea koonduvuse tarvilik tingimus, sest
{
1 +∞, kui α < 0,
lim
k α = 1, kui α = 0.
k→∞
Seega juhul α ≤ 0 on harmooniline rida hajuv. Juhul α > 0 rahuldab abifunktsioon
f(x) = 1 tingimusi (2.5.1), (2.5.2) ja (2.5.3). Et
xα ∫ ∞
1
∫
dx
A
(
x α = lim dx α≠1 A 1−α )
− 1
A→∞ 1 x α = lim
=
A→∞ 1 − α
{ ∞, kui 0 < α < 1,
1
α − 1 , kui α > 1
ja
∫ ∞
∫
dx
A
1 x = lim dx
A→∞ 1 x = lim (ln A − ln 1) = +∞,
A→∞
siis juhul 0 < α ≤ 1 päratu integraal hajub ja juhul α > 1 koondub. Rakendame
Lauset 1. Seega harmooniline rida ∑ ∞ 1
k=1
koondub, kui α > 1, ja hajub, kui
kα α ≤ 1. ♦
α ≤ 1.
Vormistame Näite 1 tulemuse.
Lause 2. Harmooniline rida ∑ ∞
k=1
1
k α
1
koondub, kui α > 1, ja hajub, kui
Näide 2. Uurime rea ∑ ∞
k=3
k (ln k) (ln ln k) β (β > 1) koonduvust.
Tegu on positiivse arvreaga. Uurime vastava päratu integraali koonduvust.
Et
∫ +∞
3
[
dx
x (ln x) (ln ln x) β = d (ln ln x) = (ln ln x) ′ dx =
= lim
A→+∞
∫ A
3
= 1
1 − β lim
A→+∞
= (ln ln 3) 1−β / (β − 1) ,
(ln ln x) −β d (ln ln x) =
dx ]
=
x (ln x)
(
(ln ln A) 1−β − (ln ln 3) 1−β) =
siis koondub vastav päratu integraal. Vastavalt Lause 1 väitele on koonduv ka
uuritav rida. ♦
Esitame t~oestuseta veel ühe tunnuse.
Lause 2 (Raabe tunnus). Kui positiivse arvrea ∑ ∞
k=1 a k korral eksisteerib
l~oplik piirväärtus
(
lim k 1 − a )
k+1
= r,
k→∞ a k
siis