MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

82 PEATÜKK 2. READ
Märgime, et
n! − √ 2πnn n e −n n→∞
→ ∞,
st suuruste n! ja √ 2πnn n e −n vahe n! − √ 2πnn n e −n on madalamat järku l~opmata
suur suurus, v~orreldes suurustega n! ja √ 2πnn n e −n piirprotsessis n → ∞.
V~ordleme positiivseid arvridu ∑ ∞ k k−1
k=1
k!e k ja ∑ ∞ 1
k=1
k α . Leiame
lim
k→∞
k k−1
[ √
k!e k k! ∼ 2πkk
=
k e −k
1
(k → ∞)
k α
]
k k+α−1
= lim √
2πkkk e −k e = k
k→∞
= √ 1 lim 2π k→∞ kα−1.5 α=1.5 1
= √ . 2π
Rakendame Lauset 2.2.4. Harmoonilise rea koonduvusest α = 1.5 korral järeldub
uuritava rea koonduvus. ♦
2.4 Cauchy tunnus
Olgu ∑ ∞
k=1 a k positiivne arvrida. Eksisteerigu l~oplik piirväärtus
Lähtudes jada piirväärtuse definitsioonist leiame, et
lim k√
ak = q. (2.4.1)
k→∞
∀ε > 0 ∃ k 0 = k 0 (ε) : | k√ a k − q| < ε (k ≥ k 0 )
ja
v~oi
ehk
∀ε > 0 ∃ k 0 = k 0 (ε) : −ε < k√ a k − q < ε (k ≥ k 0 )
∀ε > 0 ∃ k 0 = k 0 (ε) : q − ε < k√ a k < q + ε (k ≥ k 0 )
∀ε > 0 ∃ k 0 = k 0 (ε) : (q − ε) k < a k < (q + ε) k (k ≥ k 0 ) . (2.4.2)
Lause 2.1.2 p~ohjal piisab uurida vaid juhtu k 0 = 1. Kui q < 1, siis v~oime ette
anda sellise arvu ε > 0, et ka q + ε < 1. V~ordleme positiivseid arvridu ∑ ∞
k=1 a k
ja ∑ ∞
k=1 (q + ε)k . Geomeetriline rida ∑ ∞
k=1 (q + ε)k on teguri q + ε, kusjuures
|q + ε| < 1, korral koonduv. Kasutame v~orratuste ahela (2.4.2) viimast v~orratust
a k < (q + ε) k (k ∈ N) .