MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.10. TINGLIK EKSTREEMUM 43
keerukam probleem ja sellega me järgnevas üldjuhul ei tegele. Vastuse küsimusele,
kas leitud punktis on tegemist tingliku ekstreemumiga v~oi mitte, saame
sageli anda lähtudes ülesande sisust. Kui vaadeldavas piirkonnas on punkte,
milles funktsioonid f ja F i (1 ≤ i ≤ m) on mittediferentseeruvad, siis tuleb
neis punktides esitatud probleemi täiendavalt uurida.
Alustame lihtsamate erijuhtude 1 ◦ ja 2 ◦ käsitlusega.
1 ◦ Uurime funktsiooni z = f(x, y) ekstremaalseid väärtusi joone
F (x, y) = 0 (1.10.3)
punktides. Lause 1.6.1 tingimustel on v~orrandist F (x, y) = 0 avaldatava funktsiooni
y = y(x) korral
y ′ (x) = − F x(x, y (x))
F y (x, y (x)) . (1.10.4)
Joone (1.10.3) punktides saame ühe muutuja funktsiooni
z| y=y(x) = f(x, y (x)),
mille lokaalse ekstreemumi tarvilikuks tingimuseks on
f x (x, y (x)) + f y (x, y (x))y ′ (x) = 0. (1.10.5)
Seostest (1.10.4) ja (1.10.5) ~onnestub elimineerida suurus y ′ (x). Saame tulemuseks
f x (x, y (x)) − f y (x, y (x)) F x(x, y (x))
F y (x, y (x)) = 0
ehk
f x (x, y (x))
f y (x, y (x)) = F x(x, y (x))
F y (x, y (x)) . (1.10.6)
Lisatingimusel (1.10.3) funktsiooni z = f(x, y) v~oimalike tinglike ekstreemumkohtade,
st funktsiooni z| y=y(x) statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb seega
lahendada v~orrandisüsteem
⎧
⎨ f x (x, y (x))
f
⎩ y (x, y (x)) = F x(x, y (x))
F y (x, y (x))
(1.10.7)
F (x, y) = 0.
Süsteemini (1.10.7) v~oib j~ouda ka abifunktsiooni
Φ(x, y, λ) def.
= f(x, y) + λF (x, y), (1.10.8)
kus λ on abimuutuja, statsionaarsete punktide leidmisel. Nimelt,
⎧
⎨ Φ x = 0
Φ y = 0 , (1.10.9)
⎩
Φ λ = 0