MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

74 PEATÜKK 2. READ
Kui kahele reale (2.1.1) ja (2.1.8) on vastavusse seatud rida
∞∑
(a k + b k ) , (2.1.9)
k=1
siis öeldakse, et on defineeritud ridade liitmine, st ridade liitmisel saadava rea
üldliige on liidetavate üldliikmete summa. Kui arvule γ ∈ R ja reale (2.1.1) on
vastavusse seatud rida
∞∑
γa k , (2.1.10)
k=1
siis öeldakse, et on defineeritud rea arvuga korrutamine.
Definitsioon 4. Ridade ∑ ∞
k=0 a k ja ∑ ∞
k=0 b k Cauchy korrutiseks nimetatakse
rida ∑ ∞
k=0 c k, kus
k∑
c k = a i b k−i . (2.1.11)
i=0
Näide 7. Leiame ridade ∑ ∞
k=0 pk ja ∑ ∞
k=0 qk Cauchy korrutise ∑ ∞
k=0 c k.
Kui p ≠ q, siis valemi (2.1.11) abil saame meid huvitava Cauchy korrutise
üldliikme
Kui p = q, siis
c k =
k∑
a i b k−i =
i=0
k∑
p i q k−i = q k
i=0
( ) k+1 p
1 −
= q k q
1 − p q
k∑
( ) i p
=
q
i=0
= qk+1 − p k+1
.
q − p
k∑
k∑
k∑
c k = a i b k−i = p i q k−i = p i p k−i = (k + 1) p k .
i=0
i=0
i=0
♦
Lause 4. Kui read (2.1.1) ja (2.1.8) on koonduvad, siis koondub ka rida
(2.1.9), kusjuures rea (2.1.9) summa saadakse ridade (2.1.1) ning (2.1.8) summade
liitmisel. Kui rida (2.1.1) koondub, siis koondub ka rida (2.1.10), kusjuures
rea (2.1.10) summaks on rea (2.1.1) summa korrutis arvuga γ.
T~oestus. Olgu read (2.1.1) ja (2.1.8) koonduvad. Kui tähistame ridade (2.1.1),
(2.1.8) ja (2.1.9) esimese n liikme summat vastavalt sümbolitega Sn, a Sn b ja S a+b
siis kehtib seos
S a+b
n = S a n + S b n.
n ,
Et piirprotsessis n → ∞ selle seose parema poole m~olemast liidetavast eksisteerib
piirväärtus, siis eksisteerib piirväärtus ka vasakust poolest, st rida (2.1.9)