MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.2. KAHEKORDNE INTEGRAAL RISTKOORDINAATIDES 157
=
=
=
∫ 2
0
∫ 2
0
(
(4 − x) +
x (4 − x)2
2
− ( 2x − x 2) − x ( 2x − x 2) )
2
dx =
2
(4 + 5x − 3x 2 − 3 2 x3 − x5
2 + 2x4 )
dx =
(4x + 5x2
2 − x3 − 3 )∣
8 x4 − x6
12 + 2x5 ∣∣∣
2
5
0
= 172
15 . ♦
3 0 Integreerimispiirkond D on sirgl~oikudega, mis on paralleelsed kas x- v~oi y-
teljega, jaotatav l~oplikuks arvuks tüüpi 1 0 v~oi 2 0 normaalseteks integreerimispiirkondadeks.
Lause 3.1.5 on üldistatav ka juhule, kui piirkond D on jaotatud
m osapiirkonnaks. Selle üldistuse abil saame
∫∫
m∑
∫∫
f(P )dS = f(P )dS, (3.2.7)
D
k=1
D k
kusjuures iga liidetava korral on rakendatav kas Lause 1 v~oi Lause 2.
Näide 3. Olgu
{
(
x √ 3
D = (x, y)
≤ y ≤ x √ )
3 ∧ ( x 2 + y 2 ≤ 1 )} .
∣ 3
Paigutame rajad integraalis ∫∫ f(x, y)dS.
D
Integreerimispiirkond D on sirgega x = 0.5 jaotatav kaheks osapiirkonnaks
tüüpi 2 ◦ y ✻.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
y = x √ 3
.
y = √ . 1 − x 2
.
y = x √ .
3/3
.
.
.
D II .
.
.
.
. .
. D I .
.
.
.
.
.
.
.
x = 0.5
.
✲ x
.
0.5 1
Valemite (3.2.7) ja (3.2.5) abil saame
∫∫
f(x, y)dS = ∫∫
f(x, y)dS + ∫∫
D
D I
D II
f(x, y)dS =
=
0.5 ∫
0
dx
x∫
√ 3
x √ 3/3
f(x, y)dy +
√
3/2
∫
0.5
dx
√
1−x 2
∫
x √ 3/3
f(x, y)dy.
♦