MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

96 PEATÜKK 2. READ
arvrea ∑ ∞
k=0
∣ ak x k∣ ∣ koonduvust. Leiame
∣ ak+1 x k+1∣ ∣
[
lim
k→∞
|a k x k |
=
lim
k→∞
]
|a k |
|a k+1 | ≠ 0 = |x|
Seega koondub astmerida (2.8.2) absoluutselt, kui
ja ei ole absoluutselt koonduv, kui
lim
k→∞
1
|a k |
|x|
< 1 ⇔ |x| < lim
|a k |
k→∞|a lim
k+1 | ,
k→∞|a k+1 |
1
|a k |
|x|
> 1 ⇔ |x| > lim
|a k |
k→∞|a lim
k+1 | .
k→∞|a k+1 |
1
.
|a k |
|a k+1 |
Järelduse 1 p~ohjal avaldub astmerea (2.8.2) koonduvusraadius R valemiga (2.8.8).
Seda oligi vaja t~oestada. □
Analoogiliselt t~oestatakse järgnev väide.
Lause 3. Kui astmerea (2.8.2) korral a k ≠ 0 (k ≥ k 0 ) ja leidub l~oplik v~oi
l~opmatu piirväärtus
1
lim √
|ak | ,
k→∞ k
siis astmerea (2.8.2) koonduvusraadius avaldub kujul
R =
lim
k→∞ k
1
√
|ak | . (2.8.9)
Näide 1. Uurime astmerea
∞∑ 2 k x k
koonduvust.
Lahendusvariant A. Teostame uurimist vahetult, samm-sammult.
1. Fikseerime arvu x. Saame arvrea ∑ ∞ 2 k x k
k=1
k .
2. Uurime saadud arvrea absoluutset koonduvust, st positiivse arvrea
k=1
k
∞∑
2 k x k
∞
∣ k ∣ = ∑
k=1
koonduvust. Kasutame Cauchy tunnust:
k=1
2 k
k |x|k
(2.8.10)
k
lim
n→∞
√
2
k
2 |x|
k |x|k = lim
n→∞ k√ = 2 |x| < 1.
k