MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

36 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali
v~orranditeks on
ξ − x
f x (x, y) = η − y ς − f(x, y)
= , (1.7.2)
f y (x, y) −1
kusjuures S (ξ, η, ς) on selle normaalsirge suvaline punkt. Kui aga P on pinna
fikseeritud punkt, näiteks P (a, b, f(a, b)), siis puudub vajadus kolmiku (ξ, η, ς)
kasutamiseks. Sel korral anname punktis P (a, b, f(a, b)) pinnale z = f(x, y)
puutujatasandi ja normaali v~orranditele vastavalt kuju
ja
z − f(a, b) = f x (a, b) (x − a) + f y (a, b) (y − b) (1.7.3)
x − a
f x (a, b) =
S~onastame viimased tulemused.
y − b
f y (a, b)
z − f(a, b)
= . (1.7.4)
−1
Lause 1. Kui pind Σ on antud v~orrandiga z = f(x, y) ja f(x, y) on diferentseeruv
punktis A(a, b), siis (1.7.3) on pinnale punktis P (a, b, f(a, b)) puutujatasandi
v~orrandiks ja (1.7.4) normaali v~orranditeks.
Näide 1. Olgu antud pöördparaboloid v~orrandiga z = x 2 +y 2 . Leiame sellele
pinnale punktis P (−2; 3; 13) t~ommatud puutujatasandi ja normaali v~orrandid.
Punkt P asub pöördparaboloidil. Leiame f x (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y,
f x (−2, 3) = −4 ja f y (−2, 3) = 6. Et funktsioonid 2x ja 2y on pidevad punktis
A(−2; 3), siis funktsioon f(x, y) on Järelduse 1.4.1 p~ohjal diferentseeruv punktis
A. Rakendame Lauset 1. Soovitud puutujatasandi v~orrandiks on valemi (1.7.3)
p~ohjal
z − 13 = −4 (x + 2) + 6 (y − 3)
ja normaalsirge v~orranditeks (1.7.4) p~ohjal
x + 2
−4 = y − 3 = z − 13
6 −1 . ♦
Kui pind Σ on antud ilmutamata v~orrandiga F (x, y, z) = 0, kusjuures F
on diferentseeruv funktsioon, ja F z (x, y, z) ≠ 0, siis Lause 1.6.2 p~ohjal z x =
−F x /F z ning z y = −F y /F z . Seega (−F x /F z , −F y /F z , −1) on pinna Σ normaalvektor
punktis P (x, y, z) . Ka (F x , F y , F z ) on pinna normaalvektor punktis
P. Miks? Seega on Lause 1 modifikatsiooniks ilmutamata funktsiooni korral
järgmine väide.
Lause 2. Kui A (a, b, c) on v~orrandiga F (x, y, z) = 0 esitatud pinna punkt,
st F (a, b, c) = 0, ja funktsiooni F (x, y, z) esimest järku osatuletised on pidevad
punktis A ning
siis
F 2 x (a, b, c) + F 2 y (a, b, c) + F 2 z (a, b, c) ≠ 0, (1.7.5)
F x (a, b, c) (x − a) + F y (a, b, c) (y − b) + F z (a, b, c) (z − c) = 0 (1.7.6)