MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

2.12 Fourier’ rida ortogonaalse süsteemi korral . . . . . . . . . . . . . 120 2.13 Besseli v~orratus. Parsevali v~ordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.14 Fourier’ rida trigonomeetrilise süsteemi järgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2.15 Koosinusrida ja siinusrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.16 Fourier’ rea komplekskuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.17 Fourier’ integraalvalem. Fourier’ teisendus . . . . . . . . . . . . . 134 2.18 Koosinusteisendus ja siinusteisendus . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.19 Ülesanded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3 Integraalarvutus 147 3.1 Kahekordse integraali definitsioon. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.2 Kahekordne integraal ristkoordinaatides . . . . . . . . . . . . . . 152 3.3 Muutujate vahetus kahekordses integraalis . . . . . . . . . . . . . 158 3.4 Kahekordse integraali rakendused . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.4.1 Tasandilise pinnatüki pindala arvutamine . . . . . . . . . 161 3.4.2 Keha ruumala arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.4.3 Pinnatüki pindala arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.4.4 Tasandilise kujundi mass, massikese ja inertsmomendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.5 Kolmekordne integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.6 Kolmekordne integraal ristkoordinaatides . . . . . . . . . . . . . 175 3.7 Muutujate vahetus kolmekordses integraalis . . . . . . . . . . . . 182 3.8 Kolmekordse integraali rakendused . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.8.1 Keha ruumala arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.8.2 Keha mass, massikese ja inertsmomendid . . . . . . . . . 188 3.9 Esimest liiki joonintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.10 Teist liiki joonintegraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.11 Greeni valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.12 Joonintegraalide rakendused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.13 Pindindintegraalid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 3.14 Gauss-Ostrogradski valem. Stokesi valem . . . . . . . . . . . . . . 217 3.15 Pindintegraalide rakendused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 3.16 Ülesanded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Kirjandus 229 Indeks 231
Peatükk 1 Diferentsiaalarvutus 1.1 Mitme muutuja funktsioon Enne mitme muutuja funktsiooniga seotud m~oistete defineerimist meenutame olukorda ühe muutuja funtsiooni y = f(x) korral. Selle funktsiooni määramispiirkond X on x-telje k~oigi punktide hulga mingi alamhulk, st X ⊆ R. Seega on alust arvata, et vastavate probleemide lahendamisel mitme muutuja funktsiooni korral on funktsiooni määramispiirkond mingi hulk mitmem~o~otmelises ruumis. Täpsustame mitmem~o~otmelise ruumi m~oistet. Definitsioon 1. Hulkade H 1 , . . . , H n otsekorrutiseks ehk Cartesiuse korrutiseks H 1 × . . . × H n nimetatakse k~oigi järjendite (h 1 , . . . , h n ) , kus h k ∈ H k (k = 1, . . . , n) , hulka. Järjendit nimetatakse ka korteežiks. Kui H k = H (k = 1, . . . , n) , siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H × . . . × H jaoks kasutatakse ka tähistust H n . Definitsioon 2. Aritmeetiliseks punktiruumiks (afiinseks ruumiks) R n nimetatakse otsekorrutist R × . . . × R, milles on n tegurit ja R on reaalarvude hulk. Punktiruumi elemente nimetatakse selle ruumi punktideks ja arve x i nimetatakse punkti P (x 1 , . . . , x n ) koordinaatideks. Definitsioon 3. Aritmeetiliseks vektorruumiks R n nimetatakse n teguri otsekorrutist R × . . . × R, milles elementide liitmine on defineeritud seosega x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) ja korrutamine arvuga αx = (αx 1 , . . . , αx n ) , kusjuures x = (x 1 , . . . , x n ) , y = (y 1 , . . . , y n ) ja α ∈ R. Ruumi R n elemente nimetatakse vektoriteks ja arve x i (i = 1, . . . , n) nimetatakse vektori x koordinaatideks. Ruumi R n elementi 0 = (0, . . . , 0) nimetatakse nullvektoriks ehk lihtsalt nulliks. R~ohutame, et nii ruumi R n punkti P (x 1 , . . . , x n ) kui ka selle punkti P kohavektori x = (x 1 , . . . , x n ) määrab ära sama järjend (x 1 , . . . , x n ) . Ruumi R n vektorite x = (x 1 , . . . , x n ) ja y = (y 1 , . . . , y n ) skalaarkorrutis 7
Page 1 and 2: http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3: Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 8 and 9: 8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 56 and 57:
56 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111:
110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113:
112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115:
114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117:
116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119:
118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121:
120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123:
122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125:
124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127:
126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129:
128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131:
130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133:
132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135:
134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137:
136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139:
138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141:
140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143:
142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145:
144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147:
146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149:
148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151:
150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153:
152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155:
154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157:
156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 162 and 163:
162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165:
164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167:
166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Page 172 and 173:
172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175:
174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177:
176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 178 and 179:
Page 180 and 181:
Page 182 and 183:
182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 184 and 185:
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193:
192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195:
194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197:
196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 198 and 199:
Page 200 and 201:
Page 202 and 203:
202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205:
204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 206 and 207:
Page 208 and 209:
208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 210 and 211:
Page 212 and 213:
212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215:
214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217:
216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219:
218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 220 and 221:
Page 222 and 223:
222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225:
224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227:
226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229:
228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231:
230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233:
232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235:
234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?