MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.12. VÄLJATEOORIA P~OHIM~OISTED 57
Oleme t~oestanud järgmise väite.
Lause 4. Kui l o = (cos α, cos β, cos γ) on vektori l suunaline ühikvektor, siis
punktis P (x, y, z) diferentseeruva funktsiooni u = f (x, y, z) suunatuletis vektori
l suunas avaldub kujul
∂f
∂l (x, y, z) = f x (x, y, z) cos α + f y (x, y, z) cos β + f z (x, y, z) cos γ (1.12.8)
ehk lühidalt
kus l o = 1
|l| l.
Et
∂f
∂l = (grad f) · lo , (1.12.9)
∂f
∂ grad f = (grad f) · (grad 1
f)o = (grad f) · (grad f) =
|grad f|
1
=
|grad f| (grad f) · (grad f) = 1
|grad f| |grad f|2 = |grad f|
ja
∂f
( )∣ ∣ ∂l ∣ = |(grad f) · ∣
lo | = ∣|grad f| |l o | cos grad ̂ ∣∣
f, l o =
(
= |grad f| |l o ∣
| ∣cos grad ̂f,
l 0)∣ ∣∣ ≤ |grad f| ,
siis funktsiooni suunatuletis on absoluutväärtuse poolest suurim selle funktsiooni
gradiendi sihis, kusjuures gradiendi suunas funktsioon kasvab k~oige kiiremini
ja vastassuunas kahaneb k~oige kiiremini.
Funktsiooni u = f(x, y, z) nivoopinna f(x, y, z) = C normaalvektor selle
pinna punktis (x, y, z) avaldub kujul (f x , f y , f z ) . Järelikult on funktsiooni
u = f(x, y, z) gradient nivoopinna punktis risti seda punkti läbiva nivoopinnaga.
(
Näide 4. Leiame funktsiooni u = xy sin z suunatuletise punktis P 1; −2; π )
2
vektori l = (2; 1; −2) suunas. Et
grad u = (y sin z, x sin z, xy cos z) , (grad u) | P = (−2; 1; 0) ,
(
l o 1
2
=
l =
√2 2 + 1 2 + (−2) 2 3 ; 1 3 3)
; −2 ,
siis
( )
( ∂f
2
| P = (−2; 1; 0)
∂l
3 ; 1 3 3)
; −2
= −2 · 2
3 + 1 · 1
3 + 0 · (− 2 3
=
)
= −1. ♦