MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.13. ÜLESANDED 63
53. Näidake, et w = x − y
u − v + x − v
u − y
rahuldab seost
w x + w y + w u + w v = 0.
Ülesannetes 54–56 näidake, et funktsioon z = z(x, y) rahuldab seost
z xx + z yy = 0.
54. z = ln √ x 2 + y 2 . 55. z = arctan y x . 56. z = arctan x y .
57. Näidake, et z = f(x 2 − y 2 ), kus f(t) on suvaline diferentseeruv funktsioon,
rahuldab seost
yz x + xz y = 0.
58. Näidake, et z = f(y/x), kus f(t) on suvaline diferentseeruv funktsioon,
rahuldab seost
xz x + yz y = 0.
59. Olgu z = y / f(x 2 − y 2 ). Näidake, et suvalise diferentseeruva funktsiooni
f(u) korral
z x /x + z y /y = z/y 2 .
60. Näidake, et u = x k f(z/x; y/x), kus f (p, q) on suvaline diferentseeruv funktsioon,
rahuldab seost
xu x + yu y + zu z = ku .
61. Näidake, et u = x k f(z/x; y/x), kus f (p, q) on suvaline diferentseeruv kahe
muutuja funktsioon, rahuldab seost
xu x + yu y + zu z = ku .
62. Olgu x = aρ cos ϕ ja y = bρ sin ϕ, kus a ja b on konstandid. Leidke jakobiaan
(funktsionaaldeterminant) J (ρ, ϕ) =
∣ x ∣
ρ x ϕ ∣∣∣
. V: abρ.
y ρ y ϕ
63. Teisendage v~orrand dy
dx = x + y
dρ
polaarkoordinaatidesse. V:
x − y dϕ = ρ.
Ülesannetes 64–66 leidke ilmutamata funktsiooni z = z(x, y) esimest ja teist
järku osatuletised.
64. x 2 − y 2 + z 2 = a 2 . V: z x = − x z , z y = y z , z xx = − x2 + z 2
z 3 , z xy = xy
z 3 ,
z yy = z2 − y 2
z 3 .
y
65.
z = ln z x − 3. V: z z 2
x =
x (y + z) , z y =
z
y + z , z yy = −
z2
(y + z) 3 ,
yz 2
z xy =
x (y + z) 3 , z xx = − z2 y 2
x 2 (y + z) 3 .
66. x + y + z = exp (x + y + z) . V: z x = z y = −1, z xx = z xy = z yy = 0.