MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

186 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Näide 2. Leiame kahe kera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ja x 2 + y 2 + (z − 1) 2 ≤ 1 ühisosa ruumala. Skitseerime need kerad ja nende ristl~oike xz-tasandiga . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 . x . ✠ . .. z ✻ x 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1 2 Ω .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . x 2 + y 2 + z 2 = 1 ψ = π 3 ✲ y . . . . . . . . .. . .. z ✻ 2 . . . . ρ = 2 cos ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pr xz Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1 ρ = 1 ψ = π 3 Et keha on sümmeetriline z-telje suhtes, siis piisab uurida selle keha ristl~oiget xz-tasandiga. Kerade ühisosa on koonusega ψ = π/3 jaotatav kahte ossa. Kuna ning x 2 + y 2 + z 2 = 1 ←→ ρ = 1 x 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1 ←→ ρ = 2 cos ψ, siis Lause 3.5.1 viienda osa ja valemi (3.7.6) abil saame (miks?) ∫∫∫ V Ω = dxdydz = 0 Ω ∫2π ∫π/3 = dϕ dψ 0 = 1 ∫2π ∫ dϕ 3 0 π/3 0 ∫ 1 0 ∫2π ∫π/2 ρ 2 sin ψ dρ + dϕ dψ sin ψ dψ + 8 ∫2π ∫ dϕ 3 0 0 π/2 π/3 π/3 ∫ 2 cos ψ 0 cos 3 ψ sin ψdψ = ρ 2 sin ψ dρ = ✲x = 2π 3 ∫ π/3 0 sin ψ dψ + 16π 3 ∫π/2 π/3 = − 2π ∣ ∣∣∣ π/3 3 cos ψ − 4π 3 cos4 ψ ∣ 0 cos 3 ψ sin ψdψ = π/2 π/3 = − 2π 3 cos π 3 + 2π 3 + 4π 3 cos4 π 3 = 5π 12 . ♦ =
3.8. KOLMEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 187 3.8 Kolmekordse integraali rakendused 3.8.1 Keha ruumala arvutamine Olgu keha määratud ruumis R 3 piirkonnaga Ω. Lause 3.5.1 teise osa p~ohjal avaldub piirkonna Ω, mille rajapind on tükiti sile, ruumala V Ω valemiga ∫∫∫ V Ω = 1 dV. (3.8.1) Näide 1. Leiame pindadega Ω x 2 + z 2 = 1 ja y 2 + z 2 = 1 määratud keha ruumala. Skitseerime selle keha esimeses kaheksandikus oleva osa z = √ 1 − x 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . x . . . . . . ✻z 1 . .. . .. .. . . . z = √ ... . . . . . . . . 1 − y 2 . . . . . .. . . . . .... . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 y .. .. Tänu sümmeetriale on keha jaotatav kuueteistkümneks v~ordse ruumalaga osaks. Valemi (3.8.1) abil saame = 16 = −8 ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫∫∫ V Ω = dx ∫ x 0 dy Ω √ 1−x 2 ∫ 0 dxdydz = 16 dz = 16 ∫ 1 0 ∫ 1 0 dx ( 1 − x 2 ) 1/2 d ( 1 − x 2 ) = − 16 3 ∫ x 0 dy √ 1−x 2 ∫ 0 x √ 1 − x 2 dx = dz = ( 1 − x 2 ) 1 3/2 ∣ = 16 3 . ♦ 0
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111:
110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113:
112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115:
114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117:
116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119:
118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121:
120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123:
122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125:
124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127:
126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129:
128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131:
130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133:
132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135:
134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137: 136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139: 138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141: 140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143: 142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145: 144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147: 146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149: 148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151: 150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153: 152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155: 154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157: 156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 160 and 161: 160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS sa
Page 162 and 163: 162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165: 164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167: 166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 172 and 173: 172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175: 174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177: 176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 182 and 183: 182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 190 and 191: 190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193: 192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195: 194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197: 196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 202 and 203: 202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205: 204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 208 and 209: 208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 212 and 213: 212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215: 214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217: 216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219: 218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 222 and 223: 222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225: 224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227: 226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229: 228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231: 230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233: 232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235: 234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?