MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.1. KAHEKORDSE INTEGRAALI DEFINITSIOON. OMADUSED 149
T~oestus. Et vastav integraalsumma
n∑
1 · ∆S i =
i=1
n∑
∆S i = S D
on konstantne suurus ja konstantse suuruse piirväärtus on see suurus ise, siis
Lause 2 väide kehtib. □
Lause 3. Kui eksisteerib kahekordne integraal ∫∫ f(P )dS ja c on konstant,
D
siis eksisteerib ka ∫∫ c f(P )dS, kusjuures
D
∫∫
∫∫
c f(P )dS = c f(P )dS.
ja
D
i=1
T~oestus. Kuna funktsiooni c f(x, y) integraalsumma korral
∫∫
D
n∑
n∑
c f (ξ i , η i ) ∆S i = c f (ξ i , η i ) ∆S i
i=1
cf(P )dS =
siis Lause 3 väide kehtib.
lim
max d i→0
i=1
= lim c ∑ n
max d i→0
= c lim
D
i=1
n∑
cf (P i ) ∆S i =
i=1
n∑
max d i→0
i=1
□
f (P i ) ∆S i =
∫∫
f (P i ) ∆S i = c
D
f(P )dS,
Lause 4. Kui integraalid ∫∫ D f(P )dS ja ∫∫ g(P )dS eksisteerivad, siis eksisteerib
integraal ∫∫ (f(P ) + g (P )) dS, kusjuures
D
D
∫∫
∫∫
∫∫
(f(P ) + g (P )) dS = f(P )dS + g(P )dS.
D
T~oestame Lause 4 väite
∫∫
(f(P ) + g (P )) dS =
D
D
lim
max d i→0
i=1
D
n∑
(f (P i ) + g (P i )) ∆S i =
=
( n
)
∑
n∑
= lim f (P i ) ∆S i + g (P i ) ∆S i =
max d i→0
i=1
i=1
[
kui m~olemast liidetavast piirväärtus eksisteerib,
siis summa piirväärtus on piirväärtuste summa
]
=