MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

46 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
ehk
⎧⎪
f x (x, y, z(x, y))
⎨
f z (x, y, z(x, y)) = F x(x, y, z(x, y))
F z (x, y, z(x, y))
⎪
f y (x, y, z(x, y))
⎩
f z (x, y, z(x, y)) = F y(x, y, z(x, y))
F z (x, y, z(x, y))
Lisatingimusel (1.10.11) funktsiooni u = f(x, y, z) v~oimalike tinglike ekstreemumkohtade,
st funktsiooni u| z=z(x,y) statsionaarsete punktide leidmiseks tuleb
seega lahendada v~orrandisüsteem
⎧
f x (x, y, z)
⎪⎨ f z (x, y, z) = F x(x, y, z)
F z (x, y, z)
f y (x, y, z)
f ⎪⎩ z (x, y, z) = F y(x, y, z) . (1.10.14)
F z (x, y, z)
F (x, y, z) = 0
Süsteemini (1.10.14) v~oib j~ouda ka abifunktsiooni
Φ(x, y, z, λ) def.
= f(x, y, z) + λF (x, y, z), (1.10.15)
kus λ on abimuutuja, statsionaarsete punktide leidmisel. Leiame, et
⎧
Φ x = 0 ⎪⎨
Φ y = 0
, (1.10.16)
Φ z = 0 ⎪⎩
Φ λ = 0
.
st ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
f x (x, y, z) + λF x (x, y, z) = 0
f y (x, y, z) + λF y (x, y, z) = 0
f z (x, y, z) + λF z (x, y, z) = 0
F (x, y) = 0
. (1.10.17)
Elimineerides süsteemi (1.10.17) kahest esimesest v~orrandist abimuutuja λ ja
siis selle süsteemi teisest ning kolmandast v~orrandist λ ning lisades v~orrandi
(1.10.11), j~ouame süsteemini (1.10.14). S~onastame saadud tulemuse.
Lause 2. Funktsiooni u = f(x, y, z) tinglik ekstreemum lisatingimusel (1.10.11)
v~oib olla abifunktsiooni (1.10.15) statsionaarses punktis.
Näide 3. Leiame funktsiooni u = x 2 +y 2 +z 2 tingliku ekstreemumi lisatingimusel
x − y + z + 2 = 0. Kasutame Lauset 2. Lahendame abifunktsiooni Φ = x 2 + y 2 +
z 2 + λ (x − y + z + 2) korral süsteemi (1.10.16):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2x + λ = 0
2y − λ = 0
2z + λ = 0
x − y + z + 2 = 0
⎧
x = −λ/2
⎪⎨
y = λ/2
⇔
z = −λ/2
⎪⎩
x − y + z + 2 = 0
⇒ −λ/2 − λ/2 − λ/2 + 2 = 0 ⇒ λ = 4/3
⇒