MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

3.16. ÜLESANDED 225
47. z 2 = xy, (x 2 + y 2 ) 2 = 2xy (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0). V: π √ 2/24.
48. z = 9 − y 2 , z = y 2 + 1, x = −1, x = 2. V: 64.
49. x 2 + y 2 + z 2 = 5, x 2 + y 2 = 4z. V: 2π ( 5 √ 5 − 4 ) /3.
50. x 2 + y 2 + z 2 = 4Rz − 3R 2 , z 2 = 4(x 2 + y 2 ) (kera osa, mis on koonuse sees).
V: 92πR 3 /75.
51. x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 2 = x 2 + y 2 , x = 0, y = 0,
z = 0 (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0). V: 7π ( 2 − √ 2 ) /12.
52. Leidke joonega (x 2 + y 2 ) 2 = 2ax 3 (a > 0) piiratud kujundi pindala.
V: 5πa 2 /8.
Ülesannetes 53–56 leidke antud pinnatüki pindala:
53. Koonuse z 2 = x 2 + y 2 osa, mis ülalpool tasandit z = 0 ja allpool tasandit
z = √ ( x
)
3
2 + 1 . V: 24 √ 2π.
54. Koonuse z 2 = x 2 + y 2 osa, mis on välja l~oigatud silindriga z 2 = 2px.
V: 2 √ 2πp 2 .
55. Pinna [ z = xy osa, mis on välja l~oigatud silindriga x 2 + y 2 = R 2 .
(1
V: 2π
) ]
+ R
2 3/2
− 1 /3.
56. Pinna x 2 + y 2 + z 2 = R 2 osa, mis on välja l~oigatud silindriga
x 2 + y 2 = Ry. V: 2R 2 (π − 2) .
57. Leidke ühtlase pindtihedusega kesknurgaga α ja raadiusega R ringi segmendi
raskuskeskme koordinaadid. V: raskuskese asetseb nurga α poolitajal kaugusel
(4R sin (α/2)) / (3α) tsentrist.
58. Leidke (ühtlase pindtihedusega ρ) ringi, raadiusega R, inertsmoment puutuja
suhtes. V: 5πR 4 ρ/4.
59. Leidke (ühtlase pindtihedusega ρ) ringi, raadiusega R, inertsmoment rajajoone
punkti suhtes. V: 3πR 4 ρ/2.
60. Leidke pindadega x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 4, x + y + z = 8 piiratud,
tihedusega ρ (x, y, z) = x + y + z, keha
massikeskme koordinaadid. V: (471/344; 81/86; 743/344) .
61. Leidke (ühtlase tihedusega γ ) kera, raadiusega R, inertsmoment diameetri
suhtes. V: 8πγR 5 /15.
Ülesannetes 62–68 arvutage joonintegraal üle antud joone Γ :
62. ∫ ds
Γ
x + y , kus Γ on sirge y = 2 − x osa punktide A(0; 2) ja B(3; 1) vahel.
3
V: √ 10 (ln 2) /2.
63. ∫ xyds, kus Γ on ristkülik tippudega A(0; 0), B(4; 0), C(5; 2) ja D(2; 2).
Γ
V: ( 14 √ 5 − 71 ) /3.
64. ∫ Γ (x2 + y 2 ) n ds, kus Γ on ringjoon x = a cos t, y = a sin t. V: 2πa 2n+1 .
65. ∫ √
Γ 2yds, kus Γ on tsükloidi x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) esimene kaar.
V: 4πa √ a.
66. ∫ Γ (y − x)ds, kus Γ on ringjoon x2 + y 2 = 2Ry. V: 2πR 2 .
67. ∫ Γ x√ x 2 − y 2 ds, kus Γ on joon (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) (x ≥ 0).
V: 2a 3√ 2/3.