MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

2.7. FUNKTSIONAALREAD 93
T~oestus. Kui S n (x) = ∑ n−1
k=0 u k (x) , S(x) = lim S n(x)
∑ n→∞ p
R n (x) = lim
p→∞
k=n u k (x) , siis leiame, et
ja
S(x) = S n (x) + R n (x) (x ∈ [a, b] , n ∈ N)
ning
∫ b
a
n−1
∑
S(x)dx −
k=0
∫ b
a
u k (x) dx =
=
=
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
S(x)dx −
∫ b
a
S n (x)dx =
(S(x) − S n (x)) dx =
R n (x)dx.
Rea (2.7.1) ühtlase koonduvuse t~ottu saame Järelduse 1 abil
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N (n > n 0 ) ⇒ |R n (x)| < ε
b − a .
Seega
ja
∣
∫ b
a
∫ b
R n (x)dx
∣ ≤
∣
∫ b
a
a
n−1
∑
S(x)dx −
|R n (x)| dx n>n0
<
k=0
∫ b
a
∫ b
a
u k (x) dx
∣
ε
b − a dx = ε
n>n 0
< ε,
mis tähendab, et integraal ∫ b
a S(x)dx on rea ∑ ∞
∫ b
k=0 a u k (x) dx n-nda osasumma
∑ n−1
∫ b
k=0 a u k (x) dx piirväärtus piirprotsessis n → ∞. Järelikult kehtib seos
(2.7.5), kus sümboliga ∫ b
a (∑ ∞
k=0 u k (x)) dx tähistatakse integraali rea (2.7.1)
summast. □
Analoogiliselt t~oestatakse järgmine väide.
Lause 5. Kui rea (2.7.1) korral u ′ k (x) ∈ C [a, b] (k ∈ N 0) ja ∑ ∞
k=0 u′ k (x)
koondub ühtlaselt l~oigul [a, b] , siis funktsionaalrida (2.7.1) v~oib l~oigul [a, b] liikmeti
diferentseerida, st
( ∞
)
d ∑
u k (x) =
dx
k=0
∞∑
k=0
d
dx (u k (x)) .
Seejuures tähistatakse sümboliga d
dx (∑ ∞
k=0 u k (x)) tuletist rea (2.7.1) summast.