MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

More documents

Recommendations

Info

160 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS saame ∫∫ D arctan y ∫π/3 x dx dy = dϕ π/6 ∫ 3 1 ρ arctan ρ sin ϕ ρ cos ϕ dρ = ∫π/3 = dϕ = 1 4 π/6 ∫ 3 1 ∫π/3 ρ ϕ dρ = ϕdϕ π/6 ∫ 3 1 ρ dρ = ( ) π 2 9 − π2 (9 − 1) = 1 36 6 π2 . ♦ Näide 2. Leida kahe ringi x 2 + y 2 ≤ 4 x ja x 2 + y 2 ≤ 2y ühisosa D pindala. Skitseerime D y ✻ ρ = 2 sin ϕ ✁✁ ϕ = arctan 2 . . . ✁ ✁ ✁ . . x 2 + y 2 ≤ 2y ✁ ✁ ✁ 1 D ✁ ✁ ✁ x 2 + y 2 ≤ 4x . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . . . .. ...... . ...... . . . .. . .. . .. .. . .. .. . . . 1 2 3 .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ρ = 4 cos ϕ ✲x Integraal ∫∫ dx dy annab Lause 3.1.2 p~ohjal piirkonna D pindala. Kontrollige, D et ringjoonte x 2 +y 2 = 4 x ja x 2 +y 2 = 2y v~orrandeiks on polaarkoordinaatides vastavalt ρ = 4 cos ϕ ja ρ = 2 sin ϕ. Et 4 cos ϕ = 2 sin ϕ ⇒ ϕ = arctan 2, siis v~oime ringide ühisosa jaotada kiirega ϕ = arctan 2 kaheks osapiirkonnaks. Esimene neist on määratud kiirtega ϕ = 0 ja ϕ = arctan 2 ning joontega ρ = 0 ja ρ = 2 sin ϕ. Teine on määratud kiirtega ϕ = arctan 2 ja ϕ = π/2 ning joontega ρ = 0 ja ρ = 4 cos ϕ.
3.4. KAHEKORDSE INTEGRAALI RAKENDUSED 161 Rakendame m~olema osa jaoks valemit (3.3.4) eraldi. Saame S D = ∫∫ dx dy = D ∫ arctan 2 0 dϕ 2 sin ∫ ϕ 0 ρ dρ + ∫π/2 arctan 2 dϕ 4 cos ∫ ϕ 0 ρ dρ = = ∫ arctan 2 0 dϕ ρ2 2 ∣ 2 sin ϕ 0 + ∫π/2 arctan 2 dϕ ρ2 2 ∣ 4 cos ϕ 0 = = ∫ arctan 2 0 2 sin 2 ϕdϕ + ∫π/2 arctan 2 8 cos 2 ϕdϕ = = = ∫ arctan 2 0 ( ϕ − (1 − cos 2ϕ)dϕ + ∫π/2 arctan 2 4(1 + cos 2ϕ)dϕ = )∣ sin 2ϕ ∣∣∣ arctan 2 + (4ϕ + 2 sin 2ϕ)| π/2 arctan 2 2 = 0 = 2π − 3 arctan 2 − 2. ♦ 3.4 Kahekordse integraali rakendused 3.4.1 Tasandilise pinnatüki pindala arvutamine Kui D on kinnine t~okestatud ühelisidus hulk xy-tasandil, siis Lause 3.1.2 p~ohjal ∫∫ S D = D dxdy. (3.4.1) Näide 1. Leiame joontega y = x 2 ja y = x + 2 määratud piirkonna D pindala. Skitseerime piirkonna D
Page 1 and 2:
http://www.ttu.ee http://www.staff.
Page 3:
Eess~ona Käesolev ~oppevahend on j
Page 6 and 7:
2.12 Fourier’ rida ortogonaalse s
Page 8 and 9:
8 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
Page 26 and 27:
Page 28 and 29:
Page 30 and 31:
Page 32 and 33:
Page 34 and 35:
Page 36 and 37:
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
70 PEATÜKK 2. READ Tähistame süm
Page 72 and 73:
72 PEATÜKK 2. READ mille t~oestame
Page 74 and 75:
74 PEATÜKK 2. READ Kui kahele real
Page 76 and 77:
76 PEATÜKK 2. READ Lause 2. Kui po
Page 78 and 79:
78 PEATÜKK 2. READ Näide 3. Uurim
Page 80 and 81:
80 PEATÜKK 2. READ Kui q > 1, siis
Page 82 and 83:
82 PEATÜKK 2. READ Märgime, et n!
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
88 PEATÜKK 2. READ Et S 2n = S 2n+
Page 90 and 91:
90 PEATÜKK 2. READ Üldjuhul lahut
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
94 PEATÜKK 2. READ 2.8 Abeli teore
Page 96 and 97:
96 PEATÜKK 2. READ arvrea ∑ ∞
Page 98 and 99:
98 PEATÜKK 2. READ koonduvust. Kas
Page 100 and 101:
100 PEATÜKK 2. READ Seega on antud
Page 102 and 103:
102 PEATÜKK 2. READ mida nimetatak
Page 104 and 105:
104 PEATÜKK 2. READ (1 + x) α = 1
Page 106 and 107:
106 PEATÜKK 2. READ Näide 5. Aren
Page 108 and 109:
108 PEATÜKK 2. READ 2.10.3 Diferen
Page 110 and 111: 110 PEATÜKK 2. READ ja y (2k+1) =
Page 112 and 113: 112 PEATÜKK 2. READ Seega saame di
Page 114 and 115: 114 PEATÜKK 2. READ ja ∫ 2 1 ( )
Page 116 and 117: 116 PEATÜKK 2. READ st Definitsioo
Page 118 and 119: 118 PEATÜKK 2. READ Avaldame eleme
Page 120 and 121: 120 PEATÜKK 2. READ 2.12 Fourier
Page 122 and 123: 122 PEATÜKK 2. READ ja v~oi Valiku
Page 124 and 125: 124 PEATÜKK 2. READ Kui l~oigul [
Page 126 and 127: 126 PEATÜKK 2. READ 2 ◦ Vaatleme
Page 128 and 129: 128 PEATÜKK 2. READ Seega saame tu
Page 130 and 131: 130 PEATÜKK 2. READ Näide 2. Leia
Page 132 and 133: 132 PEATÜKK 2. READ siis süsteem
Page 134 and 135: 134 PEATÜKK 2. READ 2.17 Fourier
Page 136 and 137: 136 PEATÜKK 2. READ Valemi (2.17.4
Page 138 and 139: 138 PEATÜKK 2. READ nimetatakse fu
Page 140 and 141: 140 PEATÜKK 2. READ Fourier’ sii
Page 142 and 143: 142 PEATÜKK 2. READ 34. ∑ ( )
Page 144 and 145: 144 PEATÜKK 2. READ ∞∑ 78. f(x
Page 146 and 147: 146 PEATÜKK 2. READ 114. Arendage
Page 148 and 149: 148 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 150 and 151: 150 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS =
Page 152 and 153: 152 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 3.
Page 154 and 155: 154 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS R~
Page 156 and 157: 156 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS M
Page 162 and 163: 162 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS y
Page 164 and 165: 164 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS si
Page 166 and 167: 166 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 172 and 173: 172 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ab
Page 174 and 175: 174 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS st
Page 176 and 177: 176 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS La
Page 182 and 183: 182 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Se
Page 190 and 191: 190 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS I
Page 192 and 193: 192 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS eh
Page 194 and 195: 194 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Sa
Page 196 and 197: 196 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ku
Page 202 and 203: 202 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS se
Page 204 and 205: 204 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 208 and 209: 208 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 210 and 211:
210 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 212 and 213:
212 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS T~
Page 214 and 215:
214 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS ja
Page 216 and 217:
216 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ve
Page 218 and 219:
218 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ka
Page 220 and 221:
220 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS N
Page 222 and 223:
222 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Page 224 and 225:
224 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS Ü
Page 226 and 227:
226 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 68
Page 228 and 229:
228 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS 10
Page 230 and 231:
230 KIRJANDUS [15] L~ohmus, A., Tam
Page 232 and 233:
232 INDEKS graafik, 12 ilmutamata k
Page 234 and 235:
234 INDEKS normaalvektor, 36 pindal
show all

MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?