MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.10. TINGLIK EKSTREEMUM 45
Lahendame viimase süsteemi. Kuna λ = −9 ⇒ x = 0 ∧ y = ±3, siis saame kaks
punkti P 1 (0; −3) ning P 2 (0; 3) . Et y = 0 ⇒ λ = −4, x = ±2, siis saame veel
kaks punkti P 3 (−2; 0) ja P 4 (2; 0) . Leiame funktsiooni z = x 2 + y 2 väärtused
neis punktides:
z| P1 = 9, z| P2 = 9, z| P3 = 4, z| P4 = 4.
Ellipsi x2
4 + y2
−1 = 0 punktide hulk on kinnine t~okestatud hulk. Sellisel hulgal
9
omandab pidev funktsioon ekstremaalsed väärtused. Seega,
∃
max z ∧ ∃ min
9 −1=0 x 2
4 + y2
x 2
4 + y2
9 −1=0 z.
Et v~oetud osatuletised on pidevad vaadeldavas piirkonnas, siis ekstremaalsed
väärtused saavutatakse statsionaarsetes punktides. Statsionaarseid punkte on
neli, kusjuures punktides P 1 ja P 2 saavutatakse väärtus 9 ning punktides P 3 ja
P 4 väärtus 4. Seega,
max z = z| P1 = z| P2 = 9,
x 2
4 + y2
9 −1=0
min
x 2
4 + y2
9 −1=0 z = z| P3 = z| P4 = 4. ♦
2 ◦ Uurime funktsiooni u = f(x, y, z) ekstremaalseid väärtusi pinna
F (x, y, z) = 0 (1.10.11)
punktides. Lause 1.6.2 tingimustel on v~orrandist F (x, y, z) = 0 avaldatav
z = z(x, y), kusjuures
z x (x, y) = −F x (x, y, z(x, y))/F z (x, y, z(x, y)), (1.10.12)
z y (x, y) = −F y (x, y, z(x, y))/F z (x, y, z(x, y)).
Pinna (1.10.11) punktides saame kahe muutuja funktsiooni
u| z=z(x,y) = f(x, y, z(x, y)),
mille statsionaarsed punktid leitakse süsteemist
{
fx (x, y, z(x, y)) + f z (x, y, z(x, y))z x (x, y) = 0
f y (x, y, z(x, y)) + f z (x, y, z(x, y))z y (x, y) = 0 . (1.10.13)
Seoste (1.10.12) abil elimineerime süsteemist (1.10.13) suurused z x (x, y) ja
z y (x, y). Tulemuseks on süsteem
⎧
⎪⎨ f x (x, y, z(x, y)) − f z (x, y, z(x, y)) F x(x, y, z(x, y))
F z (x, y, z(x, y)) = 0
⎪⎩
f y (x, y, z(x, y)) − f z (x, y, z(x, y)) F y(x, y, z(x, y))
F z (x, y, z(x, y)) = 0