MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

54 PEATÜKK 1. DIFERENTSIAALARVUTUS
+ (Y x (x, y, z) − X y (x, y, z)) k =
= (Z y (x, y, z) − Y z (x, y, z), X z (x, y, z) − Z x (x, y, z), Y x (x, y, z) − X y (x, y, z)) ,
siis rot F = ∇ × F. □
Definitsioon 5. Laplace’i operaatoriks nimetatakse operaatorit ∇ 2 ja tähistatakse
sümboliga △, st
△ def.
= ∇ 2 .
Seega
△ = ∇ · ∇ =
= ∂2
∂x 2 +
( ) ( )
∂
∂x , ∂
∂y , ∂ ∂
·
∂z ∂x , ∂
∂y , ∂
=
∂z
∂2
∂y 2 +
∂2
∂z 2 .
Lause 2. Kehtib seos
T~oestus. Leiame, et
div grad f = △f.
div grad f = div (f x , f y , f z ) = f xx + f yy + f zz .
□
Lause 3. Kui kasutada tähistust v = g (x, y, z) , ϕ = ϕ(t) ja
G = (U(x; y; z), V (x; y; z), W (x; y; z)) , siis
• grad(u · v) = u · gradv + v · gradu,
• grad(ϕ(u)) = ϕ ′ (u) · grad u,
• ∇ 2 (uv) = u∇ 2 v + v ∇ 2 u + 2∇u∇v,
• div (uF) =u div F + F grad u,
• rot (uF) = u rotF+ (grad u) ×F,
• div (F × G) = (rot F) · G − F · (rot G) .
T~oestus. T~oestame esimese ja viienda neist seostest. Palun t~oestage ülejäänud
seosed iseseisvalt. Et
)
grad (u · v) =
((uv) x
, (uv) y
, (uv) z
=
= (u x v + uv x , u y v + uv y , u z v + uv z ) =
= u (v x , v y , v z ) + v (u x , u y , u z ) =
= u gradv + v grad u,