MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

210 PEATÜKK 3. INTEGRAALARVUTUS
Näide 5. Materiaalne punkt viiakse piki joont
x = a cos t, y = b sin t, z = t
(0 ≤ t ≤ π/2)
punktist B (a; 0; 0) punkti C (0; b; π/2) sellele materiaalsele punktile m~ojuvas
j~ouväljas F = (x + y, z, z − x) . Leiame tehtud töö.
Valemite (3.12.11) ja (3.10.6) abil saame
A =
π/2
∫
0
π/2
∫
= a 2
+
π/2
∫
0
0
[(a cos t + b sin t) (−a sin t) + t (b cos t) + (t − a cos t)] dt =
(cos t) d (cos t) − ab
2
π/2
∫
0
(1 − cos 2t) dt + b
π/2
∫
0
t cos t dt+
(t − a cos t) dt = − a2
2 − abπ
4 + b ( 1
2 π − 1 )
+ 1 8 π2 − a =
= πb
2 + π2
8 − a2
2 − πab
4 − b − a. ♦
Lause 6. Kui Y x − X y ≡ 1 ((x, y) ∈ D) ja piirkonna D rajajoon γ on sile,
siis piirkonna D pindala S D on leitav valemiga
∮
S D = Xdx + Y dy. (3.12.13)
T~oestus. Rakenda Greeni valemit.
γ
Järeldus 1. Kui valida Y = x ∧ X = 0 v~oi X = −y ∧ Y = 0 v~oi Y =
x
2 ∧ X = −y , siis valemi (3.12.13) erijuhtudena saame
2
∮
S D = xdy, (3.12.14)
ja
γ
γ
□
∮
S D = − ydx (3.12.15)
S D = 1 2
Näide 6. Leiame valemi (3.12.16) abil ellipsi
∮
γ
xdy − ydx. (3.12.16)
poolt h~olmatava osa pindala.
x 2
a 2 + y2
b 2 = 1