MATEMAATILINE ANALÜÜS II - Tallinna Tehnikaülikool

1.13. ÜLESANDED 67
116. Leidke funktsiooni z = x 2 y(4 − x − y) suurim ja vähim väärtus sirgetega
x = 0, y = 0 ja x + y = 6 määratud kolmnurgas D. V: min z = z(4; 2) = −64,
D
max z = z (2; 1) = 4.
D
117. Leidke funktsiooni z = x 2 −y 2 suurim ja vähim väärtus ringis x 2 +y 2 ≤ 4 .
V: min z = z(0; ±2) = −4, max z = z (±2; 0) = 4.
D
D
Ülesannetes ( 118–120 ) leidke grad u.
z ( ( ) z x z x
118. u = . V: , − z ( ) z ( ) z x x
, ln x )
.
y
x y y y y y
119. u = arctan xy (
)
z . V: yz
z 2 + x 2 y 2 , xz
z 2 + x 2 y 2 , − xy
z 2 + x 2 y 2 .
120. x 2 + u 2 = y 2 + z 2 . V: (−x/u, y/u, z/u) .
Ülesannetes ( 121–124 leidke divF ja rotF.
x
121. F =
y , y z x)
, z . V: 1 y + 1 z + 1 x , ( y/z 2 , z/x 2 , x/y 2) .
122. F = ( ln(x 2 − y 2 ), arctan (z − y) , xyz ) (
.
)
2x
V:
x 2 − y 2 − 1
1 + z 2 − 2zy + y 2 + xy, 1
xz −
1 + (z − y) 2 , −yz, 2y
x 2 − y 2 .
123. F = grad (ln (x + y − z)) . V: −3/ (x + y − z) 2 , 0.
124. F = rot G, G = ( x 2 y, y 2 z, x 2 z ) . V: 0, (2x, 2x, 2y − 2z) .
Ülesannetes 125–126 leidke funktsiooni w suunatuletis punktis A vektori AB
suunas.
125. w = x 2 y 2 z 2 , A(1; −1; 3), B(0; 1; 1). V: −22.
126. w = x 2 − y 2 + z 2 , A(0; 1; 1), B(−1; 1; 0). V: − √ 2.
127. Leidke funktsiooni z = √ x 2 + y 2 suunatuletis punktis (−3; 4) , seda punkti
läbiva funktsiooni nivoojoone normaali suunas. V: 1.